Докажите, что когда перпендикуляры ОК и ОФ, проведенные из точки О, принадлежащей биссектрисе ВМ треугольника

Артём_957

27

Для доказательства того, что точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС, будем использовать свойства биссектрисы треугольника и свойства перпендикуляров.

1. Построим биссектрису ВМ треугольника АВС, которая проходит через точку О. Обозначим точку пересечения биссектрисы с стороной АВ как D.

Докажем, что точка О равноудалена от сторон АВ, ВС и АС:
2. Поскольку ОК и ОФ - перпендикуляры, а О лежит на биссектрисе ВМ, то угол КОФ равен 90 градусам, что означает, что треугольник ОКФ прямоугольный.
3. Так как ОК=ОФ, треугольник ОКФ равнобедренный.
4. Значит, углы ОКД и ОФД равны, так как это углы при основании равнобедренного треугольника.
5. А значит, углы ОКD и ОФД равны между собой и равны половине угла В.

Докажем, что точка О равноудалена от сторон АВ, ВС и АС:
6. Из равенства углов ОКД и ОФД следует, что треугольники ОКД и ОФД подобны.
7. Значит, отношение длины отрезка ОК к длине отрезка ОФ равно отношению длины отрезка ОД к длине отрезка ОД, так как их соответствующие стороны в пропорции.
8. Из этого следует, что длины отрезков ОК и ОФ равны между собой.

Докажем, что точка О лежит на биссектрисе ВМ:
9. Так как длины отрезков ОК и ОФ равны, и они являются радиусами вписанной в треугольник окружности, то точка О является центром этой окружности.
10. Поскольку окружность вписана в треугольник, она касается сторон треугольника с внутренней стороны.
11. Возьмем, например, сторону АВ. Точка О находится на пересечении биссектрисы ВМ и перпендикуляра ОК.
12. Так как точка О является центром окружности и окружность касается стороны АВ, то она также касается сторон ВС и АС.

Таким образом, мы доказали, что когда перпендикуляры ОК и ОФ, проведенные из точки О, принадлежащей биссектрисе ВМ треугольника АВС, равны по длине, то О является центром окружности, вписанной в треугольник.