Докажите, что любой клетчатый квадрат без одной клетки можно разбить на клетчатые уголки с нечётным числом клеток

Delfin

63

Для доказательства данного утверждения рассмотрим клетчатый квадрат размером \(n \times n\) без одной клетки. Для удобства обозначим данный квадрат через \(S\). Цель заключается в том, чтобы разбить данный квадрат на клетчатые уголки, каждый из которых будет состоять из нечетного числа клеток.

Итак, рассмотрим несколько шагов, чтобы увидеть, как это можно сделать:

1. Разобьем данный квадрат на 4 области: верхнюю, нижнюю, левую и правую. Каждая из этих областей будет состоять из клеток размером \(\frac{n}{2} \times \frac{n}{2}\). Заметим, что каждая из этих областей, за исключением центральной клетки, имеет нечетное число клеток. Оставшаяся часть, которая является центральной клеткой размером \(1 \times 1\), также имеет нечетное число клеток.

2. Рассмотрим разбиение каждой из этих областей на уголки с нечетным числом клеток. Мы можем продолжать разбивать каждую область на более мелкие области с помощью этого метода, пока каждая область не станет размером \(1 \times 1\). Таким образом, каждая область будет состоять из нечетного числа клеток.

3. Теперь соединим эти разбиения каждой из областей. Мы можем сделать это, заменив центральную клетку размером \(1 \times 1\) в каждой из областей на очень маленький уголок с одной клеткой. Получим клетчатые уголки с нечетным числом клеток, покрывающие все клетки квадрата \(S\), кроме одной клетки.

Таким образом, мы доказали, что любой клетчатый квадрат без одной клетки можно разбить на клетчатые уголки с нечетным числом клеток.

Теперь рассмотрим вторую часть вопроса о количестве различных разбиений для клетчатого квадрата размером \(5 \times 5\) с вырезанной центральной клеткой.

Мы можем заметить, что каждое разбиение можно задать путем указания положения верхнего левого угла каждого уголка. Возможные положения верхнего левого угла уголков - это координаты клеток, которые не совпадают с вырезанной центральной клеткой.

Так как размер квадрата \(5 \times 5\) исключает 5 клеток (включая центральную клетку), у нас остается 20 клеток, в которых могут находиться верхние левые углы уголков. Каждое разбиение будет соответствовать комбинации положений верхнего левого угла уголков.

Таким образом, количество различных разбиений для клетчатого квадрата размером \(5 \times 5\) с вырезанной центральной клеткой составляет 20.

Приложу усилия, чтобы вам было понятно! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, пишите!