Докажите, что многочлен B (x) делит многочлен A (x) без остатка: 1) A (x) = x3 – 1

Самбука

64

Чтобы доказать, что многочлен B(x) делит многочлен A(x) без остатка, нам нужно установить, что при делении A(x) на B(x) получается ноль в остатке. Для этого мы можем воспользоваться алгоритмом деления многочленов, который называется алгоритмом синтетического деления.

Но перед тем, как мы приступим к делению, посмотрим на степень многочленов A(x) и B(x). Степень многочлена A(x) равна 3, а степень многочлена B(x) должна быть меньше или равна степени A(x) для того, чтобы B(x) мог без остатка делить A(x). Таким образом, многочлен B(x) должен быть одночленом, либо многочленом со степенью, меньшей или равной 3.

В данной задаче многочлен B(x) равен x - 1. Таким образом, нам нужно доказать, что многочлен A(x) = x^3 - 1 делится на многочлен B(x) = x - 1 без остатка.

Для начала, проведем деление A(x) на B(x) при помощи алгоритма синтетического деления:

x^2 + x + 1
______________________
x - 1 | x^3 + 0x^2 + 0x - 1
- (x^3 - x^2)
_________________
x^2 + 0x
- (x^2 - x)
______________
x + 1
- (x - 1)
__________
2

Итак, получили, что при делении многочлена A(x) на многочлен B(x) мы получаем остаток 2, отличный от нуля. Поэтому мы не можем утверждать, что B(x) делит A(x) без остатка.

Таким образом, многочлен B(x) = x - 1 не делит многочлен A(x) = x^3 - 1 без остатка.