Докажите, что можно выбрать 20 школьников подряд, среди которых мальчиков и девочек поровну, с помощью заполнения
Докажите, что можно выбрать 20 школьников подряд, среди которых мальчиков и девочек поровну, с помощью заполнения пропусков в тексте. Решение задачи предполагает, что все 40 детей пронумерованы по часовой стрелке от 1 до 40. Разделите детей на 40 групп: группа №1 состоит из детей с номерами 1, 2, 3, ..., 20; группа №2 состоит из детей с номерами 2, 3, 4, ..., 21; ... группа №39 состоит из детей с номерами 39, 40, 1, ..., 18; группа №40 состоит из детей с номерами 40, 1, 2, ..., 19. Пусть aₙ - количество девочек в группе №n и bₙ - количество мальчиков в группе №n. Зададим последовательность cₙ по формуле aₙ - bₙ.
Сквозь_Холмы_5190 62
\[s_1 = a_1 - b_1, s_2 = a_2 - b_2, ..., s_{40} = a_{40} - b_{40}\]где \(s_n\) - разность количества девочек и мальчиков в группе №n.
Начнем с группы №1. Так как в этой группе всего 20 детей, то из них ровно 10 мальчиков и 10 девочек. Следовательно,
\[a_1 = 10, \quad b_1 = 10, \quad s_1 = 0\]
Теперь рассмотрим группу №2. В этой группе 20 детей, с номерами от 2 до 21. Для каждого мальчика в этой группе существует девочка с таким же номером, которая находится справа от него в группе №1. Следовательно, для каждого мальчика в группе №2 можно выбрать девочку с тем же номером в группе №1. Это значит, что также можно выбрать 10 мальчиков и 10 девочек в группе №2.
Аналогично, для каждой группы №3, ..., №40 можно выбрать одинаковое количество мальчиков и девочек, так как всегда найдется соответствующая девочка для каждого мальчика в предыдущей группе.
Поэтому, в каждой группе №1, №2, ..., №40 можно выбрать по 10 мальчиков и 10 девочек. Отсюда следует, что можно выбрать 20 школьников подряд, среди которых мальчиков и девочек поровну.