Докажите, что на плоскости не может быть больше двух точек М таких, что углы AMB и CMD одновременно равны 90 градусам

Bublik

48

Для доказательства данного утверждения нам понадобится использовать свойства пересекающихся прямых и углов.

Предположим, что существуют три точки M1, M2 и M3 на плоскости, для которых углы AM1B, CM2D и AM3B равны 90 градусам.

Сначала заметим, что прямая AB пересекает прямую CD, так как иначе отрезки AB и CD должны были бы быть параллельными, и они не смогли бы образовать угол в 90 градусов с AM1 и CM2 соответственно.

Представим, что точка M1 находится выше прямой AB, как показано на рисунке ниже:
\[
\begin{array}{c}
A\quad B \\
|\quad |\quad \\
|\quad |\quad \\
M_1\quad C\quad D \\
\end{array}
\]

Так как AM1B образует прямой угол в точке M1, то прямая AB является касательной к окружности с центром в точке M1. Аналогично, угол CM2D является прямым, что означает, что прямая CD также является касательной к окружности с центром в точке M2.

Теперь рассмотрим треугольник AM1M2. Мы знаем, что две его стороны (AM1 и M1M2) являются радиусами окружности с центром в точке M1. Таким образом, угол AM1M2 равен 90 градусам.

Аналогично, рассмотрим треугольник CM2M1. Мы также знаем, что две его стороны (CM2 и M2M1) являются радиусами окружности с центром в точке M2. Значит, угол CM2M1 тоже равен 90 градусам.

Таким образом, у нас получается, что углы AM1M2 и CM2M1 равны 90 градусам. Но по свойству треугольника сумма углов в треугольнике должна быть равна 180 градусам. Противоречие!

Таким образом, на плоскости не может быть больше двух точек M, для которых углы AMB и CMD одновременно равны 90 градусам. Доказательство завершено.

Я надеюсь, что объяснение было понятным и помогло вам понять данное математическое утверждение. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.