докажите что одно из чисел равно, если известно, что сумма двух чисел больше их удвоенного произведения

Морозный_Воин_7750

18

Хорошо, чтобы доказать, что одно из чисел равно, если сумма двух чисел больше их удвоенного произведения, нам нужно воспользоваться методом математического доказательства. Давайте начнем.

Пусть у нас есть два числа \(a\) и \(b\), для которых известно, что сумма двух чисел больше их удвоенного произведения. Мы должны доказать, что одно из чисел равно.

Итак, пусть сумма двух чисел \(a\) и \(b\) больше их удвоенного произведения, т.е.

\[a + b > 2ab\]

Теперь давайте разберемся с этим неравенством. Мы можем перенести все члены в левую часть неравенства и получим:

\[0 > 2ab - (a + b)\]

Мы можем заметить, что выражение \(2ab - (a + b)\) представляет собой биквадратное уравнение. Давайте его решим.

\[2ab - (a + b) = (a - 1)(2b - 1) - 1\]

Теперь, поскольку мы хотим найти доказательство равенства одного из чисел, допустим, что \(a \neq b\). В этом случае, у нас есть два возможных варианта:

1. Пусть \(a > b\). Это означает, что \(2b - 1 < 0\), так как \(a - 1 > 0\). Тогда, \((a - 1)(2b - 1) - 1 < 0\), и мы получаем \(0 > 2ab - (a + b)\). Но мы знаем, что это неравенство выполняется, поэтому предположение \(a \neq b\) неверно.

2. Пусть теперь \(b > a\). Аналогично, это означает, что \(2a - 1 < 0\), так как \(b - 1 > 0\). Тогда, \((a - 1)(2b - 1) - 1 > 0\), что влечет нас к неравенству \(0 > 2ab - (a + b)\). Опять же, мы знаем, что это неравенство выполняется, так что предположение \(a \neq b\) неверно.

Таким образом, наше предположение о том, что \(a \neq b\), является неверным, и мы можем заключить, что \(a = b\).

Таким образом, мы доказали, что одно из чисел равно, если сумма двух чисел больше их удвоенного произведения.