Докажите, что отрезки ka, kb, kc и kd, отложенные на сторонах вертикальных углов от их общей вершины k, равны друг

Роберт

24

Данное утверждение может быть доказано с помощью использования свойств вертикальных углов и свойства равенства треугольников.

Для начала, рассмотрим треугольник ABC со сторонами AB, BC и AC. Пусть точка K - вершина, от которой отложены отрезки ka, kb, kc и kd. Первым шагом докажем, что треугольники ABK и CBK равны между собой.

Согласно свойству вертикальных углов, угол BAK равен углу CBK. Кроме того, сторона AB равна стороне CB, так как это одна и та же сторона треугольника ABC. Используя эти два равенства, мы можем применить свойство равных треугольников SAS (сторона-угол-сторона), что даёт нам равенство треугольников ABK и CBK.

Теперь рассмотрим треугольники BCK и DCK. Мы знаем, что угол BCK равен вертикальному углу AKD, так как они оба относятся к одному и тому же вертикальному углу K. Кроме того, сторона BC равна стороне DC, так как это одна и та же сторона треугольника ABC. Мы снова можем использовать свойство равных треугольников SAS, чтобы доказать равенство треугольников BCK и DCK.

Таким образом, мы доказали, что треугольники ABK и CBK равны между собой, а также треугольники BCK и DCK равны между собой.

Теперь рассмотрим отрезок ka. Вершина a находится на стороне AB треугольника ABK. Мы также знаем, что отрезок kb отложен на стороне CB, от которой был отложен отрезок ka. Так как треугольник ABK и CBK равны, то мы можем сделать вывод, что отрезок kb равен отрезку ka.

Аналогично, отрезки kc и kd отложены на сторонах треугольников BCK и DCK соответственно. Из равенства треугольников BCK и DCK следует, что отрезки kc и kd также равны отрезку ka.

Таким образом, мы доказали, что отрезки ka, kb, kc и kd, отложенные на сторонах вертикальных углов от их общей вершины k, равны друг другу.