Каковы значения меньшего основания, боковой стороны и площади трапеции ABCD, вписанной в окружность радиуса
Каковы значения меньшего основания, боковой стороны и площади трапеции ABCD, вписанной в окружность радиуса 5, где диагонали взаимно перпендикулярны, а большее основание AD равно 8?
Dasha 37
Для решения этой задачи построим диагонали трапеции ABCD так, чтобы они пересекались в точке O и образовывали прямоугольный треугольник AOD. Также обозначим меньшее основание BC как х, боковую сторону AB как у, а площадь трапеции ABCD как S.Из условия задачи мы знаем, что большее основание AD равно d. Поскольку трапеция ABCD вписана в окружность радиуса 5, то диагонали AD и BC являются диаметрами этой окружности.
Рассмотрим треугольник AOD. Поскольку прямоугольный треугольник AOD, то по теореме Пифагора:
\[AO^2 + OD^2 = AD^2\]
Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то AO и OD являются высотами треугольника AOD.
Поскольку AO и OD являются радиусами окружности, и радиус окружности равен 5, то AO = OD = 5.
Используя эти значения, можем записать уравнение:
\[5^2 + 5^2 = d^2\]
\[25 + 25 = d^2\]
\[50 = d^2\]
\[d = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Боковая сторона AB равна у, а меньшее основание BC равно х. Поместим треугольник ABC в прямоугольный треугольник AOD.
Из подобия треугольников ABC и AOD мы можем записать:
\[\frac{AB}{AO} = \frac{BC}{OD}\]
\[\frac{u}{5} = \frac{x}{5}\]
\[x = u\]
Таким образом, меньшее основание BC равно \(х = у\).
Теперь рассмотрим площадь трапеции ABCD. Площадь трапеции вычисляется по формуле:
\[S = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot AB\]
Подставим известные значения:
\[S = \frac{1}{2}(5\sqrt{2} + u) \cdot u\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2}u + u^2)\]
Таким образом, площадь трапеции ABCD равна \(S = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2}u + u^2)\), меньшее основание BC равно \(х = у\), и боковая сторона AB также равна \(у\).