Докажите, что параллелограмм с векторами а=(1,2,3) и в=(3,2,1) является ромбом

Alla

32

Чтобы доказать, что параллелограмм с данными векторами является ромбом, нам нужно проверить два условия:

1. Условие равных длин сторон.
2. Условие равных диагоналей.

Давайте рассмотрим каждое из этих условий по отдельности.

Условие равных длин сторон:
Для параллелограмма длины сторон определяются с помощью векторов, соединяющих противоположные вершины.

Пусть вектора а и в образуют стороны параллелограмма. Тогда длины сторон можно вычислить следующим образом:

Длина стороны AB:
\[
AB = \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \left\| \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \right\|
\]

где \(\overrightarrow{AB}\) - вектор, соединяющий вершину A и вершину B,
\(\overrightarrow{A}\) - вектор, задающий вершину A,
\(\overrightarrow{B}\) - вектор, задающий вершину B.

Для нашей задачи имеем:
\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} = (1,2,3) - (3,2,1) = (-2,0,2)
\]
\[
AB = \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]

Длина стороны BC:
\[
BC = \left\| \overrightarrow{BC} \right\| = \left\| \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} \right\|
\]

Для нашей задачи имеем:
\[
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = (3,2,1) - (1,2,3) = (2,0,-2)
\]
\[
BC = \left\| \overrightarrow{BC} \right\| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]

Длина стороны CD:
\[
CD = \left\| \overrightarrow{CD} \right\| = \left\| \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D} \right\|
\]

Для нашей задачи имеем:
\[
\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D} = (1,2,3) - (3,2,1) = (-2,0,2)
\]
\[
CD = \left\| \overrightarrow{CD} \right\| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]

Длина стороны DA:
\[
DA = \left\| \overrightarrow{DA} \right\| = \left\| \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} \right\|
\]

Для нашей задачи имеем:
\[
\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} = (3,2,1) - (1,2,3) = (2,0,-2)
\]
\[
DA = \left\| \overrightarrow{DA} \right\| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]

Итак, условие равных длин сторон выполняется, так как все стороны параллелограмма имеют длину \(2\sqrt{2}\).

Теперь рассмотрим условие равных диагоналей.

Условие равных диагоналей:
Диагонали параллелограмма определяются векторами, который получаются сложением/вычитанием двух диагональных вершин параллелограмма.

Для нашей задачи имеем:

\[
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} = (1,2,3) - (1,2,3) = (0,0,0)
\]
\[
\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{D} = (3,2,1) - (3,2,1) = (0,0,0)
\]

Мы видим, что векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) равны нулевому вектору.

Следовательно, диагонали AC и BD равны между собой.

Таким образом, параллелограмм с векторами а=(1,2,3) и в=(3,2,1) является ромбом, так как выполняются оба условия: равные длины сторон и равные диагонали.