Докажите, что перестановка цифр данного числа не может привести к его увеличению в 3 раза, если это число не делится

Vesenniy_Sad

32

Задача заключается в доказательстве того, что перестановка цифр данного числа не может привести к его увеличению в 3 раза, если это число не делится на 3.

Давайте предположим, что у нас есть некоторое число \(x\) и мы выполняем перестановку цифр этого числа, получая новое число \(y\), которое является увеличением числа \(x\) в 3 раза. То есть выполняется условие \(y = 3x\).

Представим число \(x\) в виде \(x = a \cdot 10^n + b\), где \(a\) - это число, состоящее из старших цифр числа \(x\), \(b\) - это число, состоящее из младших цифр числа \(x\), а \(n\) - это количество цифр в числе \(a\).

Теперь давайте рассмотрим число \(y\) и его представление в виде \(y = c \cdot 10^n + d\), где \(c\) - это число, состоящее из старших цифр числа \(y\), \(d\) - это число, состоящее из младших цифр числа \(y\).

Учитывая, что число \(y\) является увеличением числа \(x\) в 3 раза, мы можем записать равенство \(y = 3x\) в виде:

\[ c \cdot 10^n + d = 3(a \cdot 10^n + b) \]

Раскрывая скобки, получаем:

\[ c \cdot 10^n + d = 3a \cdot 10^n + 3b \]

Вычитая из обеих частей уравнения \(3b\), получаем:

\[ c \cdot 10^n + (d - 3b) = 3a \cdot 10^n \]

Заметим, что число, записанное в виде \(c \cdot 10^n + (d - 3b)\), является перестановкой цифр числа \(x\), так как оно имеет те же цифры, что и число \(x\), но в другом порядке. Поэтому мы можем сказать, что перестановка цифр числа \(x\) равна \(c \cdot 10^n + (d - 3b)\).

Таким образом, мы получаем, что перестановка цифр числа \(x\) равна \(3a \cdot 10^n\).

Вернемся к условию задачи: мы должны доказать, что перестановка цифр числа \(x\) не может привести к его увеличению в 3 раза, если число \(x\) не делится на 3.

Если число \(x\) не делится на 3, это означает, что числа \(a\) и \(10^n\) в уравнении \(3a \cdot 10^n\) не делятся на 3 одновременно. Так как 3 простое число, то произведение двух чисел будет кратно 3 только в том случае, если хотя бы одно из них кратно 3.

Получается, что перестановка цифр числа \(x\) не может быть равна \(3a \cdot 10^n\) и, следовательно, не может увеличить число \(x\) в 3 раза.

Таким образом, мы доказали, что перестановка цифр данного числа не может привести к его увеличению в 3 раза, если это число не делится на 3.