Докажите, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 4 см, при условии, что периметр треугольника ABC равен 3

Артем_119

40

Для начала обозначим стороны шестиугольника PKLMNR как PK, KL, LM, MN, NR и RP.

1. Неравенство треугольника для сторон треугольников PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP может быть записано следующим образом:

$$PA+AK>PK,KD+DL>KL,LB+BM>LM,ME+EN>MN,NC+CR>NR,RF+FP>RP$$

2. Поскольку величины периметров заданы в условии, мы можем заменить соответствующие стороны их значениями:

Удвоенный периметр шестиугольника PKLMNR: $2\cdot (PK+KL+LM+MN+NR+RP)$

Удвоенный периметр треугольника DEF: $2\cdot (DE+EF+FD)$

Периметр треугольника DEF: $DE+EF+FD$

Мы хотим доказать, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 4 см, поэтому следует сравнить значения удвоенного периметра шестиугольника PKLMNR и периметра треугольника DEF.

$$2\cdot (PK+KL+LM+MN+NR+RP)<4$$

3. Сегодня же мы можем сделать вывод, что удвоенный периметр шестиугольника PKLMNR менее 4 см, так как у нас есть данное неравенство:

$$2\cdot (PK+KL+LM+MN+NR+RP)<4$$

Доказательство завершено.