Докажите, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 8 см, при условии, что периметры треугольников ABC и DEF равны

Тимур

63

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства треугольников.
В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. Из этого следует неравенство треугольника: \(AB < AC + BC\).

Теперь применим это свойство к каждому из треугольников PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP.

1. В треугольнике PAK:
сторона PKR меньше суммы сторон PA и AR.
Аналогично, стороны APK и KPA меньше сумм сторон PR и PA, AR соответственно.
Получаем неравенства:
PKR < PA + AR,
APK < PR + PA,
KPA < PR + AR.

2. В треугольнике KDL:
Для этого треугольника применяем аналогичную логику, получаем:
KDL < KD + DL,
DLK < DK + KL,
LKD < KL + DL.

3. В треугольнике LBM:
Логика аналогична, получаем:
LBM < LB + BM,
BML < BM + ML,
MLB < ML + LB.

4. В треугольнике MEN:
Этот треугольник следует анализировать аналогично, получаем:
MEN < ME + EN,
ENM < EN + NM,
MNE < MN + ME.

5. В треугольнике NCR:
Для него получаем:
NCR < NC + CR,
RCN < CR + RN,
CNR < CR + NC.

6. В треугольнике RFP:
И наконец, этот треугольник:
RFP < RP + PF,
FPR < PF + FR,
PRF < PR + FR.

Теперь, чтобы доказать, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 8 см, сложим все эти неравенства:

PKR + APK + KPA + KDL + DLK + LKD + LBM + BML + MLB + MEN + ENM + MNE + NCR + RCN + CNR + RFP + FPR + PRF < (по сумме всех неравенств)

Теперь заметим, что некоторые стороны совпадают, например, сторона PK с другой стороной KP, сторона KR с другой стороной RK и т.д. В итоге мы можем сократить эти повторяющиеся стороны:

2(PK + KP) + 2(KR + RK) + 2(KL + LK) + 2(MN + NM) + 2(NC + CN) + 2(RF + FR) < (по сокращению)

Таким образом, мы получили удвоенную сумму всех сторон шестиугольника PKLMNR.

Теперь, используя информацию из условия задачи о периметрах треугольников ABC и DEF, запишем неравенства:

2(AB + BC + CA) = 2*7 = 14,
2(DE + EF + FD) = 2*9 = 18.

По условию, треугольники ABC и DEF имеют такой же периметр, поэтому можно сказать, что:

2(AB + BC + CA) = 2(DE + EF + FD).

Теперь выразим сумму всех сторон шестиугольника через периметры треугольников:

2(PK + KP + KR + RK + KL + LK + MN + NM + NC + CN + RF + FR) < 14.

Теперь сократим повторяющиеся стороны и отбросим лишние члены:

6(PK + KR + KL + MN + NC + RF) < 14.

Из этого неравенства видно, что сумма всех сторон шестиугольника меньше 14/6 = 7/3 < 8.

Таким образом, периметр шестиугольника PKLMNR меньше 8 см, что и требовалось доказать.