Докажите, что плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности

Кобра_1105

61

Конечно! Чтобы доказать данное утверждение, мы можем применить свойство параллельных плоскостей.

Давайте представим, что у нас есть цилиндр с плоскостью основания \(P_1\) и боковой поверхностью \(P_2\). И пусть данная плоскость \(P\) параллельна плоскости основания \(P_1\).

Теперь, чтобы доказать, что плоскость \(P\) пересекает боковую поверхность цилиндра по окружности, которая имеет такой же диаметр, как и основание, давайте рассмотрим следующие шаги:

Шаг 1: Покажем, что плоскость \(P\) пересекает все генератриксы цилиндра.

Генератрикса - это линия, которая соединяет точку на основании с соответствующей точкой на другом основании.

Давайте предположим, что плоскость \(P\) не пересекает одну из генератрикс цилиндра. Это возможно только если плоскость \(P\) лежит снаружи или внутри цилиндра, но в обоих случаях она не будет параллельна плоскости основания \(P_1\). Следовательно, наше предположение неверно, и плоскость \(P\) должна пересекать все генератриксы цилиндра.

Шаг 2: Докажем, что плоскость \(P\) образует окружность на боковой поверхности цилиндра.

Поскольку плоскость \(P\) пересекает каждую генератриксу цилиндра, она будет пересекать и боковую поверхность. Из свойства пересечения плоскости и цилиндра будет следовать, что пересечение плоскости \(P\) и боковой поверхности цилиндра будет окружностью. Другими словами, каждая точка пересечения плоскости \(P\) и боковой поверхности цилиндра будет находиться на равном удалении от центральной оси цилиндра.

Шаг 3: Покажем, что окружность пересечения имеет такой же диаметр, как и основание цилиндра.

Поскольку плоскость \(P\) параллельна плоскости основания \(P_1\), каждая генератрикса цилиндра параллельна этим двум плоскостям. Из свойства параллельности следует, что расстояние между плоскостью основания \(P_1\) и плоскостью \(P\) будет одинаково на всех генератриксах цилиндра.

Таким образом, каждая точка на окружности пересечения будет находиться на равном удалении от центра цилиндра, что в свою очередь будет означать, что диаметр этой окружности будет таким же, как и диаметр основания цилиндра.

Таким образом, мы доказали, что плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, которая имеет такой же диаметр, как и основание.