Докажите, что плоскость, содержащая ребро AB и середину ребра SE пирамиды SABCDEF, делит ребро SC в отношении 2

Максим

10

Для начала, рассмотрим пирамиду \(SABCDEF\). Плоскость, содержащая ребро \(AB\) и середину ребра \(SE\), пересечет ребро \(SC\) в точке \(M\), где \(M\) — точка деления ребра \(SC\) в отношении 2:1.

Теперь, обозначим \(SM = x\), \(MC = 2x\), \(SC = 3x\) (по пропорции отрезков деления). Мы знаем, что точка \(E\) — середина ребра \(AC\), поэтому \(AE = EC\). Также, в пирамиде \(SABCDEF\), отрезки \(SM\) и \(ME\) являются высотой и медианой треугольника \(SCE\) соответственно.

Теперь рассмотрим треугольник \(SCE\). Так как \(EM\) — медиана, то он делит сторону \(SC\) в отношении 1:2. Значит, \(MC = 2ME\), откуда \(2x = 2AE\), следовательно, \(x = AE\).

Теперь вспомним, что у нас \(SC = 3x\), таким образом, \(SC = 3AE\). Но \(SC = AC\), следовательно, \(AC = 3AE\). Таким образом, мы доказали, что плоскость, содержащая ребро \(AB\) и середину ребра \(SE\), действительно делит ребро \(SC\) в отношении 2:1, начиная с вершины.