Сколько отрезков, пересекающих данную прямую, существует с концами в этих 13 точках с одной стороны и 10 точках

Валерия

46

Чтобы решить данную задачу, воспользуемся следующим подходом. Во-первых, найдем количество отрезков, которые можно образовать, выбирая по одной точке с каждой стороны прямой. Во-вторых, найдем количество отрезков, образованных при соединении двух точек с одной стороны прямой и одной точки с другой стороны. Затем сложим эти два значения, чтобы получить итоговое количество отрезков, пересекающих данную прямую.

1. Количество отрезков, образованных выбором по одной точке с каждой стороны прямой:

С одной стороны прямой имеется 13 точек, следовательно, мы можем выбрать одну из них в качестве начала отрезка.

С другой стороны прямой имеется 10 точек, и мы можем выбрать одну из них в качестве конца отрезка.

Таким образом, общее количество отрезков, образованных выбором по одной точке с каждой стороны, равно произведению количества точек с каждой стороны: \(13 \times 10 = 130\).

2. Количество отрезков, образованных соединением двух точек с одной стороны прямой и одной точки с другой стороны:

С одной стороны прямой имеется 13 точек, а значит, мы можем выбрать две точки комбинаторным способом \(C_{13}^2 = \frac{13!}{2! \cdot (13-2)!} = \frac{13 \cdot 12}{2} = 78\) способами.

С другой стороны прямой у нас есть 10 точек, и мы можем выбрать одну из них в качестве конца отрезка.

Таким образом, общее количество отрезков, образованных соединением двух точек с одной стороны прямой и одной точки с другой стороны, равно произведению количества комбинаций выбора двух точек и количества точек с другой стороны: \(78 \times 10 = 780\).

Итак, суммируя оба значения, мы получаем общее количество отрезков, пересекающих данную прямую: \(130 + 780 = \textbf{910}\) отрезков.