Докажите, что прямая, проведенная параллельно одной из сторон равнобедренного треугольника, отсекает от него другой

Yastrebka

67

Для доказательства этого утверждения нам потребуется знание свойств и определений равнобедренного треугольника.

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Также, пусть прямая DE проведена параллельно стороне BC.

Для начала, заметим, что прямая DE отсекает от треугольника ABC другой равнобедренный треугольник EDF с основанием DF, где DF является отрезком, перпендикулярным к стороне BC.

Докажем это:

Шаг 1: Покажем, что треугольники ABC и DEF подобны.
Из параллельности прямых DE и BC, мы можем утверждать, что углы A и D равны (по свойству параллельных прямых и свойству углов при параллельных прямых).
Также, по свойству равнобедренных треугольников, углы B и C треугольника ABC равны.
Таким образом, углы D и F треугольника DEF также равны.

Шаг 2: Покажем, что стороны этих треугольников пропорциональны.
Так как DE || BC, то прямая DE пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно.
Из параллельности прямых DE и BC следует, что углы ABM и DFM равны (по свойству параллельных прямых и свойству углов при параллельных прямых).

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC. Аналогично, треугольник DEF является равнобедренным, так как DF = DE.

Шаг 3: Выводим соответствующие стороны равнобедренных треугольников ABC и DEF.
Из прошлого шага мы знаем, что углы ABM и DFM равны. Кроме того, угол B равнобедренного треугольника ABC равен углу C.

Используя подобие треугольников ABC и DEF, мы можем заключить, что стороны треугольника DEF также пропорциональны сторонам треугольника ABC с коэффициентом пропорциональности, равным длине DF / AB.
То есть, DE / AB = DF / AB, что означает, что DE = DF.

Шаг 4: Показываем, что треугольник EDF также является равнобедренным.
Из предыдущего шага мы знаем, что стороны треугольника DEF пропорциональны сторонам треугольника ABC. А поскольку AB = AC, то DF = DE.

Таким образом, мы доказали, что прямая, проведенная параллельно одной из сторон равнобедренного треугольника, отсекает от него другой равнобедренный треугольник.