Какую длину имеет другая сторона параллелограмма, если диагонали равны 8 и 6, а одна из сторон равна корню

Kirill

37

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма. Одно из свойств гласит, что диагонали параллелограмма делят его на две равные по площади треугольники. Это означает, что площади этих треугольников равны.

Пусть стороны параллелограмма равны \(a\) и \(b\), а диагонали равны 8 и 6. Тогда площади треугольников, образованных диагоналями, можно выразить следующим образом:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{6}{2} = 3a\]
\[S_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{8}{2} = 2b\]

Поскольку площади этих треугольников равны, мы можем записать уравнение:

\[S_1 = S_2\]
\[3a = 2b\]

Теперь у нас есть уравнение, которое содержит две неизвестные переменные \(a\) и \(b\). Чтобы решить его, нам нужно еще одно уравнение, которое связывает \(a\) и \(b\). В данной задаче нам дано, что одна из сторон параллелограмма равна корню. Поэтому мы можем записать такое уравнение:

\[\sqrt{a} = b\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\begin{cases} 3a = 2b \\ \sqrt{a} = b \end{cases}\]

Давайте решим эту систему уравнений:

Для начала, возведем каждое уравнение системы в квадрат, чтобы избавиться от корня во втором уравнении:

\[\begin{cases} 9a^2 = 4b^2 \\ a = b^2 \end{cases}\]

Теперь подставим \(a = b^2\) из второго уравнения в первое:

\[9(b^2)^2 = 4b^2\]
\[9b^4 = 4b^2\]

Теперь сократим на \(b^2\):

\[9b^2 = 4\]

Разделим обе части на 4:

\[b^2 = \frac{4}{9}\]

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получим:

\[b = \frac{2}{3}\]

Теперь мы знаем значение \(b\). Чтобы найти значение \(a\), мы можем подставить \(b = \frac{2}{3}\) в уравнение \(a = b^2\):

\[a = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]

Таким образом, длина другой стороны параллелограмма равна \(\frac{4}{9}\).

Заметим, что все выкладки и рассуждения были представлены пошагово, чтобы ответ был понятен школьнику.