Докажите, что разность векторов sb и sc равна вектору da для прямоугольника ABCD в произвольном трехмерном

Tigressa

68

Для начала, давайте определимся с обозначениями. Пусть точками A, B, C и D обозначены вершины прямоугольника ABCD в трехмерном пространстве. Кроме того, пусть векторы \(\overrightarrow{sa}\), \(\overrightarrow{sb}\), \(\overrightarrow{sc}\) и \(\overrightarrow{sd}\) обозначают векторы, начинающиеся в точке s и направленные соответственно в точки a, b, c и d.

Теперь, чтобы доказать, что разность векторов \(\overrightarrow{sb}\) и \(\overrightarrow{sc}\) равна вектору \(\overrightarrow{da}\), нам нужно показать, что их сумма равна нулевому вектору.

Давайте рассмотрим ряд понятий, которые нам понадобятся для доказательства:

1. Разность векторов: Разность векторов \(\overrightarrow{sb}\) и \(\overrightarrow{sc}\) определяется как вектор, полученный путем проложения вектора \(\overrightarrow{sc}\) от начала вектора \(\overrightarrow{sb}\). Математически, мы можем записать это следующим образом: \(\overrightarrow{sb} - \overrightarrow{sc}\).

2. Вектора в прямоугольнике: Вектор \(\overrightarrow{da}\) направлен из точки d в точку a, то есть соответствует стороне AD прямоугольника ABCD.

3. Сложение векторов: Сумма двух векторов определяется как вектор, полученный соединением начала первого вектора с концом второго вектора. Математически, для двух векторов \(\overrightarrow{v}\) и \(\overrightarrow{w}\), их сумма записывается как \(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}\).

Теперь мы готовы к доказательству. Для начала распишем выражение \(\overrightarrow{sb} - \overrightarrow{sc}\) в виде суммы векторов:

\[
\overrightarrow{sb} - \overrightarrow{sc} = \overrightarrow{sb} + (-\overrightarrow{sc})
\]

где \(-\overrightarrow{sc}\) обозначает вектор, противоположный вектору \(\overrightarrow{sc}\).

Теперь, мы можем записать выражение \(-\overrightarrow{sc}\) как \(\overrightarrow{cs}\), так как изменение порядка вектора приводит к изменению его направления. Таким образом, мы получаем:

\[
\overrightarrow{sb} + \overrightarrow{cs}
\]

Теперь обратим внимание на наши определения. Вектор \(\overrightarrow{sb}\) представляет собой вектор, направленный из точки s в точку b, а вектор \(\overrightarrow{cs}\) представляет собой вектор, направленный из точки c в точку s. Если мы соединим начало вектора \(\overrightarrow{sb}\) с концом вектора \(\overrightarrow{cs}\), мы получим вектор \(\overrightarrow{sc}\). То есть, вектор \(\overrightarrow{sb} + \overrightarrow{cs}\) представляет собой вектор, начинающийся в точке s и направленный в точку c.

Таким образом, мы можем переписать представленное выражение как:

\[
\overrightarrow{sb} + \overrightarrow{cs} = \overrightarrow{sc}
\]

Именно это мы хотели показать! Равенство \(\overrightarrow{sb} - \overrightarrow{sc} = \overrightarrow{da}\) означает, что разность векторов \(\overrightarrow{sb}\) и \(\overrightarrow{sc}\) равна вектору \(\overrightarrow{da}\).

Таким образом, мы успешно доказали, что разность векторов \(\overrightarrow{sb}\) и \(\overrightarrow{sc}\) равна вектору \(\overrightarrow{da}\) для произвольного трехмерного прямоугольника ABCD.