Докажите, что результат деления 345 в восьмой степени на 416 в седьмой степени минус 1 является целым числом

Robert

66

Чтобы доказать, что результат деления \(345^8\) на \(416^7 - 1\) является целым числом, нам понадобится немного алгебры.

Давайте предположим, что обе базовые степени \(345^8\) и \((416^7 - 1)\) являются положительными целыми числами. Поскольку мы хотим доказать, что их отношение является целым числом, мы можем предположить, что есть целое число \(k\), такое что:

\[
\frac{345^8}{416^7 - 1} = k
\]

Мы хотим предположить, что \(k\) является целым числом.

Рассмотрим далее числитель \(345^8\). Чтобы узнать, является ли он кратным знаменателю \(416^7 - 1\), мы можем использовать теорему о делении с остатком.

Мы знаем, что для любого положительного целого числа \(a\) и положительного целого числа \(b\), где \(b > 1\), существуют целые числа \(q\) и \(r\), такие что:

\[
a = bq + r, \quad 0 \leq r < b
\]

В нашем случае, мы можем применить эту теорему к \(345^8\) и \((416^7 - 1)\), чтобы получить:

\[
345^8 = (416^7 - 1) \cdot q + r
\]

Где \(q\) и \(r\) - это некоторые целые числа и \(0 \leq r < (416^7 - 1)\).

Теперь давайте посмотрим на эту формулу под другим углом. Мы знаем, что \(416^7\) и \(1\) являются степенями семи, поэтому мы можем записать их следующим образом:

\[
416^7 - 1 = (415 + 1)^7 - 1
\]

Теперь мы применим бином Ньютона, чтобы разложить этот показатель в сумму.

\[
(415 + 1)^7 = C_0 \cdot 415^7 + C_1 \cdot 415^6 \cdot 1 + C_2 \cdot 415^5 \cdot 1^2 + \ldots + C_6 \cdot 415 \cdot 1^6 + C_7 \cdot 1^7
\]

Здесь \(C_i\) - это коэффициенты биномиального разложения.

Мы видим, что каждое слагаемое в разложении является произведением степени семи и некоторых константных коэффициентов. Если мы вынесем \(415^7\) в каждом слагаемом (за исключением \(C_0\)) в скобки, мы получим:

\[
(415 + 1)^7 = C_0 \cdot 415^7 + 415^7 \cdot (C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 1^2 + \ldots + C_6 \cdot 1^6) + C_7 \cdot 1^7
\]

Теперь давайте обратимся к тем числам, которые не создают часть \(C_i\), показатель которых меньше \(7\). Очевидно, что они являются положительными целыми числами, поэтому мы можем записать:

\[
415^7 = 416^7 - 1 + r
\]

Подставим это обратно в наше исходное равенство:

\[
345^8 = (416^7 - 1) \cdot q + r
\]

Теперь у нас есть:

\[
345^8 = (416^7 - 1) \cdot q + (416^7 - 1 + r)
\]

Мы видим, что \(r\) и \((416^7 - 1)\) сокращаются, и оставляют только:

\[
345^8 = (416^7 - 1) \cdot (q + 1)
\]

Это означает, что \(345^8\) является произведением \((416^7 - 1)\) и некоторого другого целого числа \((q + 1)\). Так как \(345^8\) и \((416^7 - 1)\) положительные целые числа, мы можем сделать вывод, что результат деления \(345^8\) на \((416^7 - 1)\) также является целым числом.