Докажите, что треугольник, составленный из соединения центра вписанной окружности, центра вневписанной окружности

Ягодка

46

Хорошо, чтобы доказать, что треугольник образованный центром вписанной окружности, центром вневписанной окружности и одной из вершин треугольника является прямоугольным, мы можем использовать свойства возможной окружности вписанной в треугольник и свойства вневписанной окружности.

Давайте обозначим вершины треугольника как A, B и C, а центры вписанной и вневписанной окружностей как O и O1 соответственно. Мы можем сказать, что угол BAC равен половине суммы дуг BC и AC, так как AO является радиусом окружности.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что угол в центре окружности в треугольнике ABC равен углу в треугольнике BOC (так как эти два угла соответствуют дуге BC).

Также известно, что угол в центре окружности в треугольнике ABC равен половине угла BAC (так как эти два угла соответствуют одной дуге AC).

Значит, угол BOC равен половине угла BAC.

Теперь рассмотрим треугольник ABO. Мы знаем, что угол OAB равен половине угла BAC (потому что это угол между радиусом OA и хордой BC).

Аналогично, в треугольнике ABO угол OBA равен половине угла BAC.

Так как углы OAB и OBA равны, значит, треугольник ABO является равнобедренным.

Теперь, вспомним, что радиус вневписанной окружности перпендикулярен стороне треугольника (в данном случае сторона BC).

Значит, угол O1BC прямой, так как O1B является радиусом вневписанной окружности и перпендикулярен стороне BC.

Также угол OBC является прямым, так как OB является радиусом вписанной окружности и перпендикулярен стороне BC.

Из двух углов BOC и то есть двух углов OBC и O1BC, один прямой, а другой половина прямого угла, следует, что треугольник, образованный центром вписанной окружности, центром вневписанной окружности и вершиной треугольника, является прямоугольным.