Каково уравнение окружности с центром в точке С(2; -3) и радиусом R=7?

Magnitnyy_Magistr

43

Хорошо, давайте решим данную задачу. Уравнение окружности с центром в точке \(C(2; -3)\) и радиусом \(R = 7\) записывается в виде:
\[(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2,\]
где \(x_c\) и \(y_c\) - координаты центра окружности, \(x\) и \(y\) - переменные координаты произвольной точки на окружности, а \(R\) - радиус окружности.

В данном случае, подставляя известные значения, получаем:
\[(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 7^2.\]

Далее проведем несколько операций, чтобы упростить это уравнение и привести его к стандартному виду.

1. Раскроем квадраты:
\[(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 49.\]

2. Соберем все подобные члены в одну часть уравнения:
\[x^2 - 4x + y^2 + 6y + 4 + 9 = 49.\]

3. Упростим:
\[x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13 = 49.\]

4. Перенесем 49 в другую часть уравнения:
\[x^2 - 4x + y^2 + 6y - 36 = 0.\]

Итак, уравнение окружности с центром в точке \(C(2; -3)\) и радиусом \(R = 7\) имеет вид:
\[x^2 - 4x + y^2 + 6y - 36 = 0.\]

Таким образом, это является итоговым уравнением окружности. Можно отметить, что данное уравнение описывает все точки, которые находятся на расстоянии 7 от центра окружности \(C(2; -3)\).