Докажите, что в городе Лиссе, где есть 10 000 телефонов с четырехзначными номерами, в центральном районе установлено

Snegir_611

5

Для доказательства данного утверждения воспользуемся принципом Дирихле, который гласит, что если $n+1$ объектов распределены по $n$ ящикам, то хотя бы в одном из ящиков будет находиться хотя бы два объекта.

Задачу можно решить следующим образом:

Шаг 1: Посчитаем общее количество телефонов в центральном районе. Предположим, что каждый телефон имеет уникальный номер.

Так как в городе Лиссе есть 10 000 телефонов с четырехзначными номерами, значит, всего есть $10\ast 10\ast 10\ast 10={10}^4$ возможных комбинаций номеров.

Шаг 2: Посчитаем количество возможных номеров без учета номера 0000.

Так как номер 0000 отсутствует, значит, у нас остается $(10-1)\ast 10\ast 10\ast 10=9\ast {10}^3$ возможных комбинаций номеров.

Шаг 3: Посчитаем количество возможных номеров в центральном районе.

Так как в центральном районе установлено более половины всех телефонов, значит, количество телефонов в центральном районе будет больше или равно $({10}^4/2)+1=5001$ (здесь мы добавили единицу, чтобы учесть округление вверх).

Шаг 4: Применим принцип Дирихле для доказательства существования номера, который является суммой номеров двух других центральных телефонов.

Рассмотрим все возможные комбинации суммы двух четырехзначных номеров. Минимальное значение каждого номера равно 1000, а максимальное значение равно 9999.

Наибольшая сумма, которую можно получить, это $9999+9999=19998$. Значит, самая большая сумма будет меньше 19999.

Следовательно, у нас есть 19999 возможных сумм двух номеров, но в центральном районе есть более чем 5001 номер. Согласно принципу Дирихле, хотя бы одна из сумм должна совпадать с одним из центральных номеров.

Таким образом, мы доказали, что хотя бы один номер в центральном районе является суммой номеров двух других центральных телефонов, используя принцип Дирихле.