Докажите, что в лагере отдыхающих 50 школьников найдётся хотя бы один школьник, который знаком со всеми остальными

Lyubov

35

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что нет ни одного школьника, который знаком со всеми остальными школьниками в лагере отдыхающих. То есть, каждый школьник не знаком хотя бы с одним другим школьником.

Назовём школьников, которые не знакомы каким-либо другим школьником, "незнакомцами". Поскольку каждый школьник не знаком хотя бы с одним другим школьником, то каждый школьник является незнакомцем. Поэтому, весь лагерь состоит только из незнакомцев.

Исходя из предположения, что никто не знаком, можно прийти к выводу, что у каждого школьника имеется ровно 49 школьников, с которыми он не знаком. Так как в лагере отдыхающих 50 школьников, то каждый школьник должен знакомиться ровно с 49 школьниками из оставшихся 49.

Однако, при таком условии невозможно, чтобы каждый школьник знакомился с 49 другими, так как общее количество знакомств будет равно \( 50 \cdot 49 / 2 = 1225 \) знакомствам.

Получается, что каждый школьник должен знакомиться с 1225 школьниками, что невозможно, так как всего в лагере 50 школьников.

Таким образом, мы пришли к противоречию с предположением, что ни один школьник не знаком со всеми остальными. Следовательно, в лагере отдыхающих 50 школьников найдется хотя бы один школьник, который знаком со всеми остальными школьниками.