Докажите, что вектор EF равен половине суммы векторов АВ и CD, где Е и F - середины сторон АD и BC четырёхугольника

Dobryy_Drakon

48

Для начала, давайте вспомним, что такое векторы. Вектор - это математический объект, который имеет направление и длину. Он часто используется для представления сдвига или перемещения в пространстве.

Итак, у нас есть четырехугольник ABCD и его середины сторон - точки E и F. Нам нужно доказать, что вектор EF равен половине суммы векторов AB и CD.

Давайте рассмотрим сначала вектор AB и вектор CD. Согласно свойствам векторов, мы можем записать их сумму следующим образом: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}\). Теперь давайте разделим эту сумму на 2, чтобы получить половину этого значения: \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD})\).

Теперь давайте посмотрим на точки E и F - середины сторон AD и BC соответственно. Мы можем записать вектор EF как разность этих точек: \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{E}\).

Теперь наша задача - доказать, что \(\overrightarrow{EF}\) равно \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD})\). Давайте разложим векторы \(\overrightarrow{F}\) и \(\overrightarrow{E}\) по координатам.

Пусть \(\overrightarrow{F} = (x_1, y_1)\) и \(\overrightarrow{E} = (x_2, y_2)\). Тогда мы можем записать \(\overrightarrow{EF}\) как \(\overrightarrow{EF} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)\). Также разложим векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) по координатам.

Пусть \(\overrightarrow{AB} = (a_1, b_1)\) и \(\overrightarrow{CD} = (a_2, b_2)\). Тогда мы можем записать \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD})\) как \(\frac{1}{2}(a_1 + a_2, b_1 + b_2)\).

Теперь сравним координаты векторов \(\overrightarrow{EF}\) и \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD})\):

\(x_1 - x_2 = \frac{1}{2}(a_1 + a_2)\) и \(y_1 - y_2 = \frac{1}{2}(b_1 + b_2)\).

Умножим обе части первого уравнения на 2 и сложим с обеими частями второго уравнения:

\(2(x_1 - x_2) + (y_1 - y_2) = (a_1 + a_2) + \frac{1}{2}(b_1 + b_2)\).

Раскроем скобки и упростим выражение:

\(2x_1 - 2x_2 + y_1 - y_2 = a_1 + a_2 + \frac{1}{2}b_1 + \frac{1}{2}b_2\).

Теперь заметим, что точки E и F являются серединами сторон AD и BC соответственно, поэтому значения координат точек E и F находятся в половине расстояния между соответствующими точками.

То есть \(x_1 - x_2 = \frac{1}{2}(a_1 + a_2)\) и \(y_1 - y_2 = \frac{1}{2}(b_1 + b_2)\), что означает, что левая часть равна правой части нашего уравнения.

Итак, мы доказали, что вектор EF равен половине суммы векторов AB и CD.

Теорема о средней линии трапеции гласит, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции. В нашем случае, вектор EF является средней линией трапеции ABCD, а векторы AB и CD являются ее основаниями. Таким образом, из нашего доказательства следует теорема о средней линии трапеции.