Какое из следующих выражений является правильным: sin16x sin20x sin18x sin14x = 2sin7xcos7x?

Horek

24

Для начала, давайте рассмотрим формулу двойного угла для синуса. Она гласит:

\[\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\]

Теперь, чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться этой формулой и применить ее дважды.

Данное выражение:

\[\sin(16x) \sin(20x) \sin(18x) \sin(14x)\]

можем переписать, используя формулу двойного угла:

\[2\sin(8x)\cos(8x) \sin(10x) \sin(9x)\]

Затем, мы можем использовать формулу двойного угла еще раз, чтобы выразить \(\sin(9x)\) как произведение синусов углов \(\frac{9x}{2}\) и \(\frac{9x}{2}\):

\[2\sin(8x)\cos(8x) 2\sin\left(\frac{9x}{2}\right)\cos\left(\frac{9x}{2}\right)\]

Теперь, нам осталось выразить \(\sin(8x)\cos(8x)\) в виде \(\sin(7x)\). Для этого, перепишем выражение \(\sin(8x)\cos(8x)\) как произведение синусов углов \(4x\) и \(4x\):

\[2\sin\left(4x\right)\cos\left(4x\right) 2\sin\left(\frac{9x}{2}\right)\cos\left(\frac{9x}{2}\right)\]

Затем, используем формулу двойного угла снова, чтобы выразить \(\sin(4x)\cos(4x)\) в виде \(\sin(2x)\):

\[2\sin\left(2x\right)\cos\left(2x\right) 2\sin\left(\frac{9x}{2}\right)\cos\left(\frac{9x}{2}\right)\]

И, наконец, применяем формулу двойного угла в последний раз, чтобы выразить \(\sin(2x)\) как произведение синусов углов \(x\) и \(x\):

\[2\sin(x)\cos(x) 2\sin\left(\frac{9x}{2}\right)\cos\left(\frac{9x}{2}\right)\]

Теперь, соберем все части вместе:

\[2\sin(x)\cos(x) 2\sin\left(\frac{9x}{2}\right)\cos\left(\frac{9x}{2}\right) = 2\sin(x)\sin\left(\frac{9x}{2}\right) = 2\sin(7x)\]

Таким образом, выражение

\[\sin(16x)\sin(20x)\sin(18x)\sin(14x)\]

действительно равно \(2\sin(7x)\).

Надеюсь, это решение будет понятным для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!