Докажите, что векторы a=CD+DA+AO и A1C лежат на одной прямой. При каком значении k выполняется равенство ka=A1C?

Sofya

20

Рассмотрим заданные векторы:

\(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AO}\)

\(\overrightarrow{A_1C}\)

Для доказательства того, что эти векторы лежат на одной прямой, мы можем использовать свойство коллинеарности векторов. Два вектора считаются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или противоположных прямых.

Для начала рассмотрим вектор \(\overrightarrow{CD}\). Он является разностью координат двух точек \(C\) и \(D\), то есть:

\(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C}\)

Аналогично, рассмотрим вектор \(\overrightarrow{DA}\):

\(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{D}\)

Теперь представим вектор \(\overrightarrow{a}\) в виде суммы этих векторов:

\(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AO} = (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{C}) + (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{D}) + \overrightarrow{AO}\)

Заметим, что вектор \(\overrightarrow{D}\) сокращается и мы получаем:

\(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} + \overrightarrow{AO}\)

Теперь рассмотрим вектор \(\overrightarrow{A_1C}\). Он является разностью координат двух точек \(A_1\) и \(C\):

\(\overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A_1}\)

Теперь, чтобы доказать, что векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{A_1C}\) лежат на одной прямой, нам нужно показать, что они коллинеарны. Для этого мы можем установить равенство коэффициентов прямой пропорциональности между их координатами.

Рассмотрим уравнение:

\(ka = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}\)

Здесь \(k\) - это коэффициент пропорциональности.

Сравнивая это уравнение с уравнением вектора \(\overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A_1}\), мы можем сделать вывод, что если \(ka = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}\), то \(k = -1\).

Таким образом, равенство \(ka = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}\) выполняется при \(k = -1\).

Теперь мы можем заключить, что векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{A_1C}\) лежат на одной прямой, и при \(k = -1\) выполняется равенство \(ka = \overrightarrow{A_1C}\).