Докажите, что векторы (a - d) и (b - c) являются коллинеарными, если они связаны следующими соотношениями: [a

Баська_2437

13

Чтобы доказать, что векторы \((a - d)\) и \((b - c)\) являются коллинеарными на основе данных соотношений \([a, b] = [c, d]\) и \([a, c] = [b, d]\), мы можем использовать свойство коллинеарности, которое гласит, что если векторы имеют пропорциональные координаты, то они коллинеарны.

Давайте рассмотрим вектор \((a - d)\). Это означает, что мы вычитаем из вектора \(a\) вектор \(d\). Аналогично, вектор \((b - c)\) обозначает разность между векторами \(b\) и \(c\).

Мы знаем, что \([a, b] = [c, d]\) и \([a, c] = [b, d]\). Выражение \([a, b]\) означает скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\), а \([c, d]\) обозначает скалярное произведение векторов \(c\) и \(d\). Аналогично, \([a, c]\) обозначает скалярное произведение векторов \(a\) и \(c\), а \([b, d]\) обозначает скалярное произведение векторов \(b\) и \(d\).

Теперь давайте вычислим скалярное произведение векторов \((a - d)\) и \((b - c)\):

\[
\begin{align*}
(a - d) \cdot (b - c) &= (a \cdot b) - (a \cdot c) - (d \cdot b) + (d \cdot c) \\
&= [a, b] - [a, c] - [d, b] + [d, c] \\
&= [a, b] - [c, d] - [b, d] + [a, c] \\
&= 0
\end{align*}
\]

Мы видим, что скалярное произведение векторов \((a - d)\) и \((b - c)\) равно 0. Это означает, что векторы \((a - d)\) и \((b - c)\) ортогональны друг другу.

Теперь давайте рассмотрим более общий случай. Если два вектора ортогональны друг другу, значит, их координаты коллинеарны. То есть, если скалярное произведение двух векторов равно 0, то векторы коллинеарны.

В нашем случае, мы доказали, что скалярное произведение векторов \((a - d)\) и \((b - c)\) равно 0. Следовательно, эти векторы коллинеарны.

Таким образом, на основе данных соотношений \([a, b] = [c, d]\) и \([a, c] = [b, d]\), мы доказали, что векторы \((a - d)\) и \((b - c)\) коллинеарны.