Докажите, что время полёта тела, начиная с его броска с поверхности земли и заканчивая моментом его падения на землю

Янтарное

17

Для доказательства данного утверждения воспользуемся законами движения тела, подкинутого вертикально вверх, и затем падающего вниз.

Введем следующие обозначения:
- \(t_1\) - время подъема тела с поверхности земли до достижения им максимальной высоты;
- \(t_2\) - время спуска тела с максимальной высоты до падения на землю;
- \(t_{\text{полёта}}\) - время полёта тела, начиная с его броска до момента падения на землю.

Время подъема \(t_1\) и время спуска \(t_2\) равны между собой, так как движение тела при подъеме и спуске одинаково исключая направление движения.

Если время подъема \(t_1\) равно времени спуска \(t_2\), то суммарное время подъема и спуска будет \(t_{\text{подъема и спуска}} = t_1 + t_2\).

Таким образом, время полёта \(t_{\text{полёта}}\) будет равно удвоенной длительности времени подъема и спуска: \(t_{\text{полёта}} = 2(t_1 + t_2)\).

Для доказательства осталось показать, что \(t_1 + t_2\) равно времени, которое тело затратило на подъем на максимальную высоту.

При вертикальном подъеме тела с постоянным ускорением вследствие действия силы тяжести, мы можем использовать уравнение движения для определения времени подъема:

\[h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_1^2,\]

где \(h\) - максимальная высота подъема тела, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Решим это уравнение относительно \(t_1\):

\[t_1^2 = \frac{2h}{g},\]

\[t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}.\]

Теперь рассмотрим время спуска \(t_2\), используя тот факт, что движение тела при спуске будет также происходить с постоянным ускорением \(g\). Тогда, применив аналогичное уравнение движения для спуска, получим:

\[h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_2^2.\]

Решим это уравнение относительно \(t_2\):

\[t_2^2 = \frac{2h}{g},\]

\[t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}.\]

Суммируя время подъема и спуска, получаем:

\[t_{\text{подъема и спуска}} = t_1 + t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \sqrt{\frac{2h}{g}} = 2 \sqrt{\frac{2h}{g}}.\]

Таким образом, время полёта тела равно удвоенной длительности времени подъема и спуска:

\[t_{\text{полёта}} = 2(t_1 + t_2) = 2 \cdot 2 \sqrt{\frac{2h}{g}} = 4 \sqrt{\frac{2h}{g}}.\]

Мы видим, что данное выражение совпадает с временем, которое тело затратило на подъем на максимальную высоту. Следовательно, мы доказали, что время полёта тела равно дважды больше времени, которое оно затратило на подъем на максимальную высоту.