Докажите, что всегда найдется по крайней мере один кусок торта без грязи, если мы разрезаем его прямыми разрезами

Grigoriy

19

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом индукции.

Шаг 1: Базовый шаг
Предположим, что у нас есть торт без грязи, состоящий из одного куска (т.е. без разрезов). Очевидно, что в этом случае у нас есть один кусок торта, который не содержит грязи.

Шаг 2: Шаг индукции
Предположим, что утверждение верно для торта, состоящего из \( n \) кусков. То есть, если мы разрезаем торт на \( n \) кусков, то мы всегда найдем хотя бы один кусок без грязи.

Шаг 3: Индукционный переход
Рассмотрим торт, состоящий из \( n+1 \) кусков. Давайте добавим новый разрез, чтобы разрезать торт на \( n+1 \) кусков.

Разрежем торт горизонтально, чтобы получить два слоя торта. Если оба слоя содержат грязь, то в каждом слое есть кусочек торта без грязи по предположению индукции.

Если только один слой содержит грязь, то мы можем выбрать другой слой, который не содержит грязи. В результате у нас будет как минимум один кусок без грязи.

Если оба слоя не содержат грязи, то мы можем выбрать любой кусок из одного из слоев, и он будет без грязи.

Таким образом, в каждом случае мы можем найти хотя бы один кусок торта без грязи после добавления нового разреза.

Шаг 4: Заключение
Мы показали, что если у нас есть торт, состоящий из \( n+1 \) кусков, то всегда найдется хотя бы один кусок без грязи. При этом базовый шаг и шаг индукции доказывают, что утверждение выполняется для любого натурального числа \( n \).

Таким образом, мы доказали утверждение: "Всегда найдется по крайней мере один кусок торта без грязи, если мы разрезаем его прямыми разрезами".