Докажите, что выражение 37^(n+2) + 16^(n+1) + 23^n является кратным 7 для любого натурального значения

Солнечный_Феникс

69

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей.

Мы должны доказать, что выражение \(37^{(n+2)} + 16^{(n+1)} + 23^n\) является кратным 7 для любого натурального \(n\).

Для начала, давайте представим это выражение в виде суммы:

\(37^{(n+2)} + 16^{(n+1)} + 23^n\)

Теперь давайте посмотрим на каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: \(37^{(n+2)}\).

Мы можем заметить, что 37 является простым числом, и достаточно известного простого числа, чтобы рассмотреть его свойства по модулю 7. По модулю 7 число 37 равно 2, так как остаток от деления 37 на 7 равен 2.

Таким образом, мы можем записать \(37^{(n+2)}\) по модулю 7 как \(2^{(n+2)}\).

Второе слагаемое: \(16^{(n+1)}\).

Аналогично, мы можем заметить, что 16 по модулю 7 равно 2, так как остаток от деления 16 на 7 также равен 2.

Таким образом, мы можем записать \(16^{(n+1)}\) по модулю 7 также как \(2^{(n+1)}\).

Третье слагаемое: \(23^n\).

Здесь мы видим, что 23 по модулю 7 равно 2 - остаток от деления 23 на 7.

Таким образом, мы можем записать \(23^n\) по модулю 7 как \(2^n\).

Теперь, если мы сложим все три слагаемых и возьмем остаток от деления на 7, то получим:

\(2^{(n+2)} + 2^{(n+1)} + 2^n \mod 7\).

Мы можем заметить, что у всех слагаемых есть общий множитель 2.

Так как мы работаем по модулю 7, то мы можем применить свойства остатков при сложении.

Сумма двух остатков по модулю 7 будет иметь такой же остаток по модулю 7, как и сумма самих чисел.

Таким образом, мы можем записать это выражение как:

\(2^{(n+2)} + 2^{(n+1)} + 2^n \mod 7\)

\(= 2 \cdot (2^{(n+2)} + 2^{(n+1)} + 2^n) \mod 7\)

Теперь мы видим, что умножение на 2 также не изменяет остаток по модулю 7.

Таким образом, это выражение можно упростить:

\(2^1 \cdot (2^{(n+2)} + 2^{(n+1)} + 2^n) \mod 7\)

\(= 2^{(1 + (n+2))} + 2^{(1 + (n+1))} + 2^{(1 + n)} \mod 7\)

\(= 2^{(n+3)} + 2^{(n+2)} + 2^{(n+1)} \mod 7\)

И снова мы видим, что у нас есть общий множитель 2.

Таким образом, мы можем записать это выражение как:

\(2 \cdot (2^{(n+3)} + 2^{(n+2)} + 2^{(n+1)}) \mod 7\)

\(= 2 \cdot (2^n \cdot 2^3 + 2^n \cdot 2^2 + 2^n \cdot 2^1) \mod 7\)

\(= 2 \cdot (8 \cdot 2^n + 4 \cdot 2^n + 2 \cdot 2^n) \mod 7\)

\(= 2 \cdot (14 \cdot 2^n) \mod 7\)

\(= 28 \cdot 2^n \mod 7\)

Мы знаем, что 28 по модулю 7 равно 0, так как 28 без остатка делится на 7.

Таким образом, мы можем записать это выражение как:

\(0 \cdot 2^n \mod 7\)

\(= 0 \mod 7\)

Таким образом, мы доказали, что выражение \(37^{(n+2)} + 16^{(n+1)} + 23^n\) является кратным 7 для любого натурального \(n\).

Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.