Докажите делимость выражения 3^60+1

  • 47
Докажите делимость выражения 3^60+1.
Зарина
63
Хорошо! Чтобы доказать делимость выражения \(3^{60}+1\), мы можем воспользоваться теоремой деления с остатком и применить различные свойства экспоненты. Позвольте мне разложить это для вас.

У нас есть выражение \(3^{60}+1\), в котором основание равно 3 и показатель степени равен 60. Мы хотим показать, что это выражение является делимым. Давайте рассмотрим его подробнее.

\[
3^{60}+1
\]

Мы можем заметить, что \(3^{60}\) является степенью 3, что означает, что каждый множитель в этом выражении делится на 3 без остатка.
Теперь давайте рассмотрим выражение немного ближе:

\[
3^{60} = (3^{30})^2
\]

Мы можем заметить, что \(3^{60}\) можно представить как квадрат \(3^{30}\). Это важно для нашего доказательства.

Теперь рассмотрим сумму \(3^{60}+1\). Наша цель - показать, что она делится на 3 без остатка. Чтобы доказать это, мы можем использовать теорему деления с остатком.

По теореме деления с остатком, любое число можно представить в виде \(a = bq + r\), где \(a\) - делимое, \(b\) - делитель, \(q\) - частное, а \(r\) - остаток.
Если \(r = 0\), тогда \(a\) делится на \(b\) без остатка.

Теперь применяем эту теорему к нашей сумме:

\[
3^{60}+1 = (3^{30})^2 + 1
\]

Здесь мы получаем \(a = (3^{30})^2 + 1\), \(b = 3^{30}\) и \(r = 1\).

Теперь давайте предположим, что \(3^{60}+1\) не делится на 3 без остатка, тогда остаток \(r\) не равен нулю. Заметьте, что \(b = 3^{30}\) делится на 3 без остатка.

Следовательно, \(a = (3^{30})^2\) также делится на 3 без остатка, потому что каждый множитель \(b\) делится на 3 без остатка.

Теперь давайте рассмотрим выражение \((3^{30})^2\), которое также является степенью 3:

\[
(3^{30})^2 = (3^{15})^4
\]

Мы снова получаем степень 3 \((3^{15})^4\). Заметим, что \(3^{15}\) делится на 3 без остатка.

У нас есть цепочка таких степеней, в которых каждая степень делится на 3 без остатка. Это означает, что все множители в \(a = (3^{30})^2\) делятся на 3 без остатка, что противоречит нашему предположению о том, что остаток \(r\) в выражении \(3^{60}+1\) не является нулевым.

Следовательно, мы можем заключить, что \(3^{60}+1\) делится на 3 без остатка. Доказательство завершено.

Это пошаговое решение поможет школьнику лучше понять процесс доказательства и укрепит его знания в области алгебры и свойств степеней.