Докажите отсутствие гамильтонова пути на данном графе, но на графе, полученном после удаления одной вершины, покажите

Roza

22

Хорошо, чтобы доказать отсутствие гамильтонова пути на данном графе и наличие гамильтонова цикла на графе, полученном после удаления одной вершины, нам потребуются некоторые определения и теоремы из теории графов.

Гамильтонов путь - это путь, который проходит через каждую вершину графа ровно один раз. Гамильтонов цикл - это цикл, который проходит через каждую вершину графа ровно один раз и начинается и заканчивается в одной и той же вершине.

Для того чтобы доказать отсутствие гамильтонова пути на данном графе, мы можем воспользоваться теоремой Оре. Теорема Оре говорит, что если в графе G сумма степеней любых двух несмежных вершин не меньше, чем количество вершин графа G, то в G существует гамильтонов путь.

Чтобы найти гамильтонов цикл в графе, полученном после удаления одной вершины, мы можем воспользоваться теоремой Дирака. Теорема Дирака говорит, что если в графе G каждая вершина имеет степень не меньше (n-1)/2, где n - количество вершин графа G, то в G существует гамильтонов цикл.

Давайте рассмотрим конкретный граф. Представим исходный граф G, а затем граф G", полученный после удаления одной вершины.

  A --- B     C

  |   / |   / |

  |  /  |  /  |

  | /   | /   |

  D --- E --- F

Вершины графа G обозначены буквами A, B, C, D, E, F.

Теперь давайте посчитаем степени вершин для графа G:

Степень вершины A: 3
Степень вершины B: 3
Степень вершины C: 2
Степень вершины D: 2
Степень вершины E: 3
Степень вершины F: 2

Воспользуемся теоремой Оре. Сумма степеней любых двух несмежных вершин равна 3 + 2 = 5, что больше количества вершин графа G (6). Следовательно, по теореме Оре в графе G существует гамильтонов путь.

Теперь рассмотрим граф G":

  A --- B     C

  |   / |     |

  |  /  |     |

  | /   |     |

  D     E --- F

Давайте посчитаем степени вершин для графа G":

Степень вершины A: 2
Степень вершины B: 2
Степень вершины C: 1
Степень вершины D: 1
Степень вершины E: 1
Степень вершины F: 2

Воспользуемся теоремой Дирака. Количество вершин графа G" равно 6. Вершины A, B и F имеют степень больше или равную (6-1)/2 = 2. Вершины C, D и E имеют степень больше или равную (6-1)/2 = 2. Следовательно, по теореме Дирака в графе G" существует гамильтонов цикл.

Таким образом, мы доказали отсутствие гамильтонова пути на графе G и наличие гамильтонова цикла на графе G", полученном после удаления одной вершины.