Докажите параллельность плоскостей mpk и abc, при условии, что угол dab равен углу dmp, и угол dmk равен углу

Ivanovna

57

Для доказательства параллельности плоскостей \(\text{mpk}\) и \(\text{abc}\), мы можем использовать два подхода: английский и векторный.

Английский подход:
1. Рассмотрим углы \(\text{dab}\) и \(\text{dmp}\), которые равны по условию задачи.
2. Предположим, что плоскости \(\text{mpk}\) и \(\text{abc}\) не параллельны.
3. Тогда найдется прямая, пересекающая обе плоскости.
4. Рассмотрим точку пересечения прямой с плоскостью \(\text{mpk}\) и обозначим ее как \(\text{X}\).
5. Так как прямая пересекает плоскость \(\text{mpk}\), то она также пересекает отрезок \(\text{dm}\).
6. Из условия задачи следует, что угол \(\text{dmk}\) равен углу \(\text{dac}\).
7. Следовательно, угол \(\text{dmk}\) равен углу \(\text{dab}\).
8. Но мы уже выяснили, что угол \(\text{dab}\) равен углу \(\text{dmp}\).
9. Получается, что углы \(\text{dmp}\) и \(\text{dmk}\) равны друг другу, что возможно только в случае, когда точка \(\text{X}\) лежит на прямой \(\text{dm}\).
10. Следовательно, плоскости \(\text{mpk}\) и \(\text{abc}\) параллельны.

Векторный подход:
1. Рассмотрим векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) и \(\vec{AM}\), где \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) лежат в плоскости \(\text{abc}\), а \(\vec{AM}\) лежит в плоскости \(\text{mpk}\).
2. Уголы \(\text{dab}\) и \(\text{dmp}\) равны по условию задачи.
3. Так как \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) лежат в одной плоскости, то их векторное произведение равно нулю: \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{0}\).
4. То же самое верно и для векторного произведения \(\vec{AM} \times \vec{AC}\): \(\vec{AM} \times \vec{AC} = \vec{0}\).
5. Разложим вектор \(\vec{AM}\) по векторам \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\): \(\vec{AM} = \lambda \vec{AB} + \mu \vec{AC}\).
6. Подставим разложение вектора \(\vec{AM}\) в выражение для векторного произведения: \((\lambda \vec{AB} + \mu \vec{AC}) \times \vec{AC} = \vec{0}\).
7. Учитывая, что \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{0}\) и некоторые свойства векторного произведения, получаем уравнение \(\mu (\vec{AC} \times \vec{AC}) = \vec{0}\).
8. Так как векторное произведение вектора на самого себя равно нулю, получаем \(\mu \cdot \vec{0} = \vec{0}\).
9. Значит, коэффициент \(\mu\) может быть любым.
10. Это означает, что вектор \(\vec{AM}\) может быть линейной комбинацией векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\), что возможно только в случае, когда плоскости \(\text{mpk}\) и \(\text{abc}\) параллельны.

Таким образом, мы доказали параллельность плоскостей \(\text{mpk}\) и \(\text{abc}\) с использованием двух подходов: английского и векторного.