Какова площадь ромба с окружностью, вписанной в него, если ее диаметр равен 8, а периметр ромба равен

Zagadochnyy_Magnat

56

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Обратимся к свойствам ромба. В ромбе противоположные стороны равны между собой, и его диагонали делятся пополам и перпендикулярны друг другу.

2. Диагонали ромба являются основаниями двух равнобедренных треугольников, образованных диагоналями. Заметим, что касательная к окружности, вписанной в ромб, является высотой одного из этих треугольников, а также является половиной одной из сторон ромба.

3. По свойству равнобедренных треугольников высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой этого треугольника. Таким образом, касательная к окружности является и медианой и биссектрисой одного из треугольников.

4. Теперь мы можем использовать свойства треугольника, чтобы найти его высоту и основание. Пусть диаметр окружности равен 8, тогда радиус окружности \(r = \frac{8}{2} = 4\).

5. Мы знаем, что касательная к окружности, вписанной в ромб, делит сторону ромба пополам. Таким образом, одна сторона ромба равна \(2r = 2 \cdot 4 = 8\).

6. Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. У нас есть 4 стороны, поскольку все стороны ромба равны между собой. Пусть периметр ромба равен \(P\). Тогда \(P = 4 \cdot 8 = 32\).

7. Возьмем любую сторону ромба и обозначим ее \(a\). Тогда площадь ромба можно найти с помощью следующей формулы: \(S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\), где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба.

8. Мы уже знаем, что основание ромба равно 8, а диагональ равна 4 (так как радиус равен половине диаметра). Тогда площадь ромба равна: \(S = \frac{8 \cdot 4}{2} = 16\).

Таким образом, площадь ромба с окружностью, вписанной в него, равна 16.