Докажите равенство (a^2/a+5-a^3/a^2+10a+25):(a/a+5-a^2/a^2-25)=5a-a^2/a+5

Волк

31

Хорошо, давайте рассмотрим данное равенство и пошагово докажем его.

Начнем с левой части равенства:
\[
\frac{a^2}{a+5} - \frac{a^3}{a^2+10a+25}
\]

Для начала, давайте найдем наименьшее общее кратное знаменателей в каждом слагаемом, чтобы мы могли сложить дроби. В знаменателях у нас есть \(a+5\) и \(a^2+10a+25\).

Знаменатель первой дроби равен \(a+5\), а знаменатель второй дроби равен \(a^2+10a+25\). Обратите внимание, что выражение \(a^2+10a+25\) является квадратным трехчленом.

Теперь мы можем привести оба знаменателя к наименьшему общему кратному. Общим знаменателем станет \(a^2+10a+25\).

Разделим знаменатель первой дроби на \(a\) и получим:
\(\frac{a^2}{a} + \frac{5}{a}\), что равно \(a + \frac{5}{a}\)

Аналогично, разделим знаменатель второй дроби на \(a^2\) и получим:
\(\frac{a^3}{a^2} + \frac{10a}{a^2} + \frac{25}{a^2}\), что равно \(a + \frac{10a}{a^2} + \frac{25}{a^2}\)

Объединяя оба выражения, получаем следующее:
\(\frac{a^2}{a+5} - \frac{a^3}{a^2+10a+25} = \left(a + \frac{5}{a}\right) - \left(a + \frac{10a}{a^2} + \frac{25}{a^2}\right)\)

Мы можем упростить это выражение:
\(a + \frac{5}{a} - \left(a + \frac{10a}{a^2} + \frac{25}{a^2}\right)\)

Теперь давайте упростим второе слагаемое:
\(a + \frac{5}{a} - a - \frac{10a}{a^2} - \frac{25}{a^2}\)

Теперь объединим слагаемые \(a\) и упростим дробные слагаемые:
\(a - a + \frac{5}{a} - \frac{10a}{a^2} - \frac{25}{a^2}\)

\(\frac{5}{a} - \frac{10a}{a^2} - \frac{25}{a^2}\)

Общим знаменателем для этих трех дробей будет \(a^2\). Приведем каждую дробь к общему знаменателю:

\(\frac{5a}{a^2} - \frac{10a}{a^2} - \frac{25}{a^2}\)

Теперь мы можем сложить эти дроби:
\(\frac{5a - 10a - 25}{a^2} = \frac{-5a - 25}{a^2} = \frac{-5(a + 5)}{a^2}\)

Таким образом, левая часть равенства равна \(\frac{-5(a + 5)}{a^2}\).

Теперь перейдем к правой части равенства:
\(5a - \frac{a^2}{a+5}\)

Приведем к общему знаменателю:

\(5a - \frac{a^2}{a+5} = \frac{5a(a+5) - a^2}{a+5}\).

Раскроем скобки:

\(\frac{5a^2 + 25a - a^2}{a+5}\).

Упростим числитель:

\(\frac{4a^2 + 25a}{a+5}\).

Таким образом, правая часть равенства равна \(\frac{4a^2 + 25a}{a+5}\).

Мы получили, что левая и правая части равенства равны:
\(\frac{-5(a + 5)}{a^2} = \frac{4a^2 + 25a}{a+5}\).

Таким образом, доказано равенство составленной задачи.