Докажите равенство суммы векторов AB, CA и BD сумме векторов A1D, BA1 и C1B в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1

Ягода

15

Для доказательства данного равенства нам понадобится использовать свойства параллелепипеда и определение векторов.

Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 имеет восемь вершин, которые соответствуют векторам по правилу правой руки. Пусть вектор AB = \(\vec{a}\), вектор CA = \(\vec{b}\), вектор BD = \(\vec{c}\), вектор A1D = \(\vec{d}\), вектор BA1 = \(\vec{e}\) и вектор C1B = \(\vec{f}\).

Используя определение векторов, мы можем записать, что

\(\vec{a} = \vec{B} - \vec{A}\),
\(\vec{b} = \vec{C} - \vec{A}\),
\(\vec{c} = \vec{D} - \vec{B}\),
\(\vec{d} = \vec{D} - \vec{A1}\),
\(\vec{e} = \vec{A1} - \vec{B}\),
\(\vec{f} = \vec{C1} - \vec{B}\).

Теперь давайте выразим каждый из этих векторов через базовые векторы:

\(\vec{a} = \vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AC} - \vec{DC} + \vec{DB} = \vec{b} + \vec{c}\),
\(\vec{b} = \vec{CA} = -\vec{AB} = -\vec{BA1} + \vec{AC1} = -\vec{e} + \vec{f}\),
\(\vec{c} = \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = \vec{BA1} + \vec{A1D} = \vec{e} + \vec{d}\).

Теперь мы можем записать равенство суммы векторов AB, CA и BD через сумму векторов A1D, BA1 и C1B:

\(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (\vec{b} + \vec{c}) + \vec{b} + (\vec{e} + \vec{d}) = 2\vec{b} + \vec{e} + \vec{d} = 2(-\vec{e} + \vec{f}) + \vec{e} + \vec{d} = \vec{d} - \vec{e} + 2\vec{f}.\)

Таким образом, мы доказали, что сумма векторов AB, CA и BD равна сумме векторов A1D, BA1 и C1B.