Доведіть, що PQ є бісектрисою кута MPN, коли з точки P проведені дотичні PM і PN до кола з центром у точці

Bukashka

52

Для начала, чтобы доказать, что отрезок PQ является биссектрисой угла MPN, мы должны использовать свойство биссектрисы. Это свойство гласит, что биссектриса разделяет угол на два равных угла.

Итак, у нас есть угол MPN, и мы хотим доказать, что PQ делит его на два равных угла.

Давайте начнем с построения дополнительных отрезков PM и PN, которые будут являться касательными к окружности с центром в точке O, проходящей через точку P.

Теперь, рассмотрим треугольник MPN. Мы знаем, что отрезок PM является касательной к окружности, а значит, он перпендикулярен радиусу, проведенному в точке касания. Аналогично, отрезок PN также является касательной к окружности и перпендикулярен радиусу. Таким образом, мы имеем две перпендикулярные линии, проведенные из одной точки к окружности, что означает, что эти две линии являются радиусами окружности и точкой касания.

Так как PM и PN перпендикулярны радиусам окружности, то значит, что треугольник MPN является прямоугольным треугольником.

Теперь, давайте рассмотрим отрезок PQ. Он соединяет точку P с точкой касания касательных линий PM и PN. Так как биссектриса делит угол на две равные части, нам нужно доказать, что угол MPQ и угол NPQ равны.

Чтобы это сделать, давайте рассмотрим треугольники MPQ и NPQ. Они оба имеют общую сторону PQ. Кроме того, у нас есть равные углы MPQ и NPQ (поскольку они являются углами между перпендикулярными линиями и радиусами). И наконец, мы знаем, что сторона MQ (седловая сторона) и сторона NQ (седловая сторона) равны друг другу (поскольку они являются радиусами окружности).

Исходя из этих факторов, мы можем заключить, что треугольники MPQ и NPQ - это равнобедренные треугольники с одинаковыми углами. Таким образом, угол MPQ равен углу NPQ, что и требовалось доказать.

Поэтому, PQ является биссектрисой угла MPN.