Какова вероятность того, что наступил период экономического кризиса, если случайно выбранный клиент банка не вернул

Baronessa

38

Для решения данной задачи, нам необходимо знать два значения: вероятность того, что наступил период экономического кризиса, и вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернул полученный им кредит.

Пусть:
\(A\) - наступление экономического кризиса.
\(B\) - клиент не вернул кредит.

Нам известны следующие условные вероятности:
\(P(A) = 0.2\) - вероятность наступления экономического кризиса.
\(P(B|A) = 0.8\) - вероятность того, что клиент не вернул кредит, при условии, что наступил экономический кризис.
\(P(B|A") = 0.1\) - вероятность того, что клиент не вернул кредит, при условии, что экономический кризис не наступил.

Мы хотим найти вероятность наступления экономического кризиса, при условии, что клиент не вернул кредит ( \( P(A|B) \) ).

Для решения данной задачи применим формулу условной вероятности, которая выглядит следующим образом:

\[ P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)} \]

где \( P(B) \) - это общая вероятность клиента не вернуть кредит.

Чтобы найти \( P(B) \), мы можем использовать полную вероятность:

\[ P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(A") \cdot P(B|A") \]

Подставляя все значения, получаем:

\[ P(B) = 0.2 \cdot 0.8 + (1 - 0.2) \cdot 0.1 = 0.16 + 0.08 = 0.24 \]

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность:

\[ P(A|B) = \frac{0.2 \cdot 0.8}{0.24} = \frac{0.16}{0.24} = \frac{2}{3} \approx 0.67 \]

Таким образом, вероятность того, что наступил период экономического кризиса, если случайно выбранный клиент банка не вернул полученный им кредит, составляет примерно \(0.67\) или \(67\%\).