Доведіть, використовуючи метод векторів, що діагоналі ромба є взаємно перпендикулярними

Druzhische

13

Щоб довести, що діагоналі ромба є взаємно перпендикулярними, використаємо метод векторів.

Нехай ABCD - ромб зі стороною a.

Спочатку знайдімо координати точок A, B, C і D.
Нехай центр ромба O має координати (0, 0). Тоді точки A, B, C, D будуть мати наступні координати:
A (a/2, 0), B (0, a/2), C (-a/2, 0), D (0, -a/2).

Тепер обчислимо вектори AD і BC.
Вектор AD з координатами (x1, y1) і (x2, y2) обчислюється як:
AD = (x2 - x1, y2 - y1).

Таким чином, вектор AD має координати (0 - a/2, -a/2 - 0), тобто (-a/2, -a/2).

Аналогічно, вектор BC з координатами (x1, y1) і (x2, y2) обчислюється як:
BC = (x2 - x1, y2 - y1).

Таким чином, вектор BC має координати (-a/2 - 0, 0 - a/2), тобто (-a/2, -a/2).

Зауважимо, що вектори AD і BC мають однакові координати. Це означає, що вектори AD і BC колінеарні.

Тепер перевіримо, чи є вектори AD і BC перпендикулярними. Для цього використовуємо відомий факт: для того, щоб два вектори були перпендикулярними, їх скалярний добуток має дорівнювати нулю.

Скалярний добуток двох векторів a і b обчислюється як:
a • b = (a1 * b1) + (a2 * b2).

Застосуємо цей факт до векторів AD і BC:
AD • BC = (-a/2 * -a/2) + (-a/2 * -a/2) = (1/4 * a^2) + (1/4 * a^2) = a^2/2.

Отже, скалярний добуток векторів AD і BC дорівнює a^2/2.

Таким чином, ми бачимо, що скалярний добуток векторів AD і BC не дорівнює нулю. Тому вектори AD і BC не є перпендикулярними.

Отже, ми довели, що діагоналі ромба не є взаємно перпендикулярними при використанні методу векторів.