During the time t = 100 seconds, an object completes 100 = n oscillations. During the same time, the amplitude

Звонкий_Эльф

31

Хорошо! Давайте посмотрим, как решить эту задачу.

Обозначим коэффициент затухания как \(\alpha\), логарифмическое убывание затухания как \(\delta\), коэффициент якоря как \(Q\), а относительное уменьшение энергии как \(\frac{{\Delta E}}{{E}}\).

Известно, что за время \(t = 100\) секунд объект совершает \(n = 100\) колебаний, и за это же время амплитуда колебаний уменьшается в \(2.718\) раза.

1. Как найти коэффициент затухания \(\alpha\)?
Мы знаем, что амплитуда колебаний уменьшилась в \(2.718\) раза. Это означает, что отношение амплитуды на каждом последующем колебании к амплитуде на предыдущем колебании равно \(e^{-\alpha}\), где \(e\) - основание натурального логарифма.
Таким образом, \([e^{-\alpha}]^{n} = \frac{1}{2.718}\).
Прологарифмируя обе части уравнения, получим \(-\alpha \cdot n = \ln\left(\frac{1}{2.718}\right)\).
Решая это уравнение, найдем значение коэффициента затухания \(\alpha\):

\(-\alpha \cdot n = \ln\left(\frac{1}{2.718}\right)\).

\(\alpha = \frac{\ln\left(\frac{1}{2.718}\right)}{n}\).

2. Как найти логарифмическое убывание затухания \(\delta\)?
Логарифмическое убывание затухания \(\delta\) связано с коэффициентом затухания \(\alpha\) следующим образом: \(\delta = \alpha \cdot T\),
где \(T\) - период колебаний.
Мы знаем, что в данной задаче \(n = 100\) колебаний совершаются за время \(t = 100\) секунд, поэтому \(T = \frac{t}{n} = \frac{100}{100} = 1\) секунда.
Таким образом, \(\delta = \alpha \cdot T = \alpha \cdot 1 = \alpha\).

Следовательно, логарифмическое убывание затухания \(\delta\) также равно значению коэффициента затухания \(\alpha\).

3. Как найти коэффициент якоря \(Q\)?
Коэффициент якоря \(Q\) определяется как \(Q = \frac{1}{2\alpha}\).

Подставив значение коэффициента затухания \(\alpha\) из пункта 1, получим значение коэффициента якоря \(Q\):

\(Q = \frac{1}{2\alpha} = \frac{1}{2 \cdot \left(\frac{\ln\left(\frac{1}{2.718}\right)}{n}\right)} = \frac{n}{2 \cdot \ln\left(\frac{1}{2.718}\right)}\).

4. Как найти относительное уменьшение энергии \(\frac{\Delta E}{E}\)?
Относительное уменьшение энергии \(\frac{\Delta E}{E}\) задается следующим выражением: \(\frac{\Delta E}{E} = Q \cdot \delta\).

Подставим найденные значения коэффициента якоря \(Q\) и логарифмического убывания затухания \(\delta\) из пунктов 2 и 3:

\(\frac{\Delta E}{E} = Q \cdot \delta = \frac{n}{2 \cdot \ln\left(\frac{1}{2.718}\right)} \cdot \alpha = \frac{n}{2 \cdot \ln\left(\frac{1}{2.718}\right)} \cdot \delta\).

Таким образом, для данной задачи мы нашли следующие значения:
- Коэффициент затухания \(\alpha = \frac{\ln\left(\frac{1}{2.718}\right)}{n}\),
- Логарифмическое убывание затухания \(\delta = \alpha\),
- Коэффициент якоря \(Q = \frac{n}{2 \cdot \ln\left(\frac{1}{2.718}\right)}\),
- Относительное уменьшение энергии \(\frac{\Delta E}{E} = \frac{n}{2 \cdot \ln\left(\frac{1}{2.718}\right)} \cdot \delta = \frac{n}{2 \cdot \ln\left(\frac{1}{2.718}\right)} \cdot \alpha\).

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном ответе использовались промежуточные расчеты, обоснования и пояснения для лучшего понимания школьником.