Если a и b - натуральные числа такие, что (a, b) = 1, то какое наибольшее возможное значение может иметь выражение

Chernyshka

2

Для решения данной задачи мы можем использовать алгоритм Евклида, чтобы найти наибольший общий делитель (a, b) двух натуральных чисел a и b.

Алгоритм Евклида состоит в следующем:
1. Делим большее число на меньшее число.
2. Если остаток равен нулю, то меньшее число является наибольшим общим делителем.
3. Если остаток не равен нулю, то заменяем большее число на меньшее число, а меньшее число на остаток от деления.
4. Повторяем шаги 1-3 до тех пор, пока остаток от деления не станет равным нулю.

Заметим, что если (a, b) = 1, то a и b являются взаимнопростыми числами, то есть у них нет общих делителей, кроме 1.

Рассмотрим выражение (a + 100b, 100a + b):
(a + 100b, 100a + b) = (a + 100b, 100a + b - 100(a + 100b)) = (a + 100b, 100a + b - 100a - 100^2b) = (a + 100b, -99ab) = (a + 100b, ab).

Так как a и b являются взаимнопростыми числами, то (a + 100b, ab) = 1.

Следовательно, наибольшее возможное значение выражения (a + 100b, 100a + b) равно 1.