Если на плоскости xy есть два вектора a{2; 1}, b={1; -1}, и их векторное произведение равно вектору c={x; y

Fontan

6

Хорошо, давайте решим эту задачу подробно. У нас есть два вектора: \( \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) и \( \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \). Также, нам дано, что их векторное произведение равно вектору \( \mathbf{c} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \).

Для начала, найдем векторное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \). Векторное произведение вычисляется по формуле:

\[ \mathbf{c} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} \]

Где \( a_1 \) и \( b_1 \) - это компоненты векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) по оси \( x \), соответственно, \( a_2 \) и \( b_2 \) - компоненты по оси \( y \), а \( a_3 \) и \( b_3 \) - компоненты по оси \( z \) (равны 0, так как у нас плоскость \( xy \)).

Применяя формулу, получим:

\[ \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \end{pmatrix} \]

Вычисляя, получим:

\[ \mathbf{c} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Таким образом, значение вектора \( \mathbf{c} \) равно \( \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \).

Теперь нам нужно найти значение скалярного произведения между вектором \( \mathbf{c} \) и вектором \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \).

Скалярное произведение двух векторов определяется следующим образом:

\[ \mathbf{c} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 1 + c_3 \cdot 1 \]

Подставляем значения компонент вектора \( \mathbf{c} \) и вычисляем:

\[ (-2) \cdot 1 + (-2) \cdot 1 + 2 \cdot 1 = -2 - 2 + 2 = -2 \]

Таким образом, значение скалярного произведения между вектором \( \mathbf{c} \) и вектором \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) равно -2.

Надеюсь, что этот подробный ответ помог вам понять, как получить значения вектора \( \mathbf{c} \) и скалярного произведения. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!