Если один из углов трапеции равен 45°, а меньшая боковая сторона равна 4 и меньшее основание равно 5, то какое будет

Smurfik

5

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства углов трапеции.

Вспомним, что в трапеции параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные стороны - боковыми сторонами трапеции.

Пусть \(AB\) и \(CD\) - основания трапеции \(ABCD\), где \(AB\) - большее основание, а \(CD\) - меньшее основание. Пусть \(BC\) и \(AD\) - боковые стороны трапеции.

Дано, что угол трапеции \(BCDA\) равен 45°. Заметим, что внутренний угол любой фигуры равен сумме углов, образованных ею. То есть, угол \(BCDA\) можно разбить на два угла: \(BCD\) и \(ADC\). Так как \(BCD\) и \(ADC\) - смежные углы, и их сумма равна 45°, то каждый из углов \(BCD\) и \(ADC\) равен 45°/2 = 22.5°.

Используя свойство трапеции, мы можем заметить, что боковые стороны трапеции \(BC\) и \(AD\) равны между собой. Так как сторона \(CD\) равна 4, то сторона \(AD\) тоже равна 4.

Теперь мы можем решить задачу, используя теорему косинусов. В треугольнике \(ADC\) есть две известные стороны: \(CD = 4\) и гипотенуза \(AD = 5\). Нам необходимо найти длину стороны \(AC\), которую мы обозначим буквой \(x\).

По теореме косинусов имеем:
\[\cos(\angle ADC) = \frac{AC^2 + CD^2 - AD^2}{2 \cdot AC \cdot CD}\]

Подставляя известные значения и упрощая уравнение, получаем:
\[\cos(22.5°) = \frac{x^2 + 4^2 - 5^2}{2 \cdot x \cdot 4}\]

Вычисляя значения в радианах, получаем:
\[\cos\left(\frac{22.5 \cdot \pi}{180}\right) = \frac{x^2 + 16 - 25}{8x}\]

Упрощая и продолжая вычисления, имеем:
\[x^2 - 8x\cos\left(\frac{22.5 \cdot \pi}{180}\right) + 9 = 0\]

Решая это квадратное уравнение, найдем значение \(x\):
\[x = \frac{8\cos\left(\frac{22.5 \cdot \pi}{180}\right) \pm \sqrt{\left(8\cos\left(\frac{22.5 \cdot \pi}{180}\right)\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}\]

Подставляя соответствующие значения, получаем два возможных решения для \(x\) - одно положительное и одно отрицательное. Но так как сторона не может иметь отрицательную длину, мы выбираем положительное значение для \(x\).

Таким образом, большее основание трапеции равно \(x = \frac{8\cos\left(\frac{22.5 \cdot \pi}{180}\right) + \sqrt{\left(8\cos\left(\frac{22.5 \cdot \pi}{180}\right)\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}\).

Подставляя соответствующие значения, округленные до нужного количества знаков после запятой, получаем ответ: