Если описание прямоугольной трапеции авсд окружает окружность, то какова длина стороны, соединяющей две диагонали, если

Ярослав

59

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться принципом касательной, проведенной к окружности. Давайте разберемся подробнее.

Мы знаем, что вся трапеция окружает окружность, поэтому каждая из ее сторон касается этой окружности. Согласно принципу касательной, прямая, проведенная из точки касания, перпендикулярна радиусу окружности. Таким образом, каждая из сторон трапеции будет перпендикулярна радиусу и будет иметь точку касания с окружностью.

Для начала, нам нужно найти длину поперечного радиуса (внутренней диагонали), пролегающего через точку касания и расположенного перпендикулярно стороне трапеции. Обозначим эту длину как \(x\).

Так как радиус окружности равен 4 см, то от точки касания до центра окружности (радиуса) будет равно 4 см.

Теперь, поскольку угол между диагоналями трапеции равен 60 градусам, значит, каждый из треугольников, образованных этими диагоналями, является равносторонним.

Таким образом, длина второй диагонали равна 4 см. Обозначим ее как \(y\).

Теперь у нас есть два треугольника: прямоугольный треугольник, образованный поперечным радиусом, горизонтальной стороной и стороной трапеции, и равносторонний треугольник, образованный обеими диагоналями трапеции.

Используя свойства этих треугольников, мы можем записать следующие равенства:

\[
x^2 = 4^2 - y^2
\]

\[
y^2 = x^2 + (AV)^2
\]

где \((AV)\) - горизонтальная сторона трапеции, которую мы хотим найти.

Замечательно! У нас есть два уравнения и две неизвестные (\(x\) и \(y\)).

Решим первое уравнение относительно \(x\):

\[
x^2 = 4^2 - y^2
\]

\[
x^2 = 16 - y^2
\]

\[
x = \sqrt{16 - y^2}
\]

Теперь подставим это значение \(x\) во второе уравнение:

\[
y^2 = x^2 + (AV)^2
\]

\[
y^2 = (\sqrt{16 - y^2})^2 + (AV)^2
\]

\[
y^2 = 16 - y^2 + (AV)^2
\]

\[
2y^2 = 16 + (AV)^2
\]

\[
AV = \sqrt{2y^2 - 16}
\]

Мы знаем, что \(y = 4\) (по условию), поэтому:

\[
AV = \sqrt{2 \cdot 4^2 - 16}
\]

\[
AV = \sqrt{16}
\]

\[
AV = 4
\]