У колі з центром в точці О проведені радіуси ОN і ОK, який проходить через середину відрізка MN - точку P, так що ∠KNP

Ledyanoy_Samuray

31

Дано:

У колі з центром в точці О проведені радіуси ОN і ОK, який проходить через середину відрізка MN - точку P, так що \(\angle KN P = 35^\circ\).

Чтобы найти углы треугольника, нам понадобится сначала понять структуру данного треугольника. Посмотрим на изображение:

\[image\]

Обозначим углы треугольника так: \(\angle KON = \alpha\), \(\angle ONP = \beta\), \(\angle KON = \gamma\).

Известно, что угол, образованный радиусом и хордой внутри круга, равен половине центрального угла, образованного той же хордой.

Сначала найдем угол \(\angle KP N\):

Угол \(\angle KP N\) равен половине центрального угла \(\angle KON\), так как точка \(P\) является серединой хорды \(MN\).

Таким образом, \(\angle KP N = \dfrac{\angle KON}{2} = \dfrac{2\alpha}{2} = \alpha\).

Теперь мы знаем, что \(\angle KP N = \angle KON = \alpha\) и \(\angle KN P = 35^\circ\).

Из суммы углов треугольника \(\triangle KNP\) получаем:

\[\alpha + 35^\circ + \angle KPN = 180^\circ\]

Так как у нас уже известно, что \(\alpha = \angle KPN\), подставляем значения:

\[2\alpha + 35^\circ = 180^\circ\]

\[2\alpha = 180^\circ - 35^\circ\]

\[2\alpha = 145^\circ\]

\[\alpha = 72.5^\circ\]

Теперь давайте найдем угол \(\beta\):

Угол \(\beta\) равен углу, образованному радиусом и хордой внутри круга. Это угол, составленный двумя касательными к кругу из одной точки. По свойству такого угла, он равен половине суммы центральных углов, соответствующих хорде.

Таким образом, \(\angle KON = 2\beta\).

Из условия задачи мы уже знаем, что \(\angle KON = \alpha = 72.5^\circ\). Подставим это значение и найдем угол \(\beta\):

\[2\beta = 72.5^\circ\]

\[\beta = \dfrac{72.5^\circ}{2} = 36.25^\circ\]

Теперь найдем угол \(\gamma\):

Угол \(\gamma = \angle OPN\). Так как \(\angle OP N = 180^\circ - \beta\) (сумма углов в треугольнике), то

\[\gamma = 180^\circ - \beta\]

\[\gamma = 180^\circ - 36.25^\circ = 143.75^\circ\]

Итак, углы треугольника составляют:

\(\angle KON = 72.5^\circ\), \(\angle ONP = 36.25^\circ\), \(\angle OPN = 143.75^\circ\).