Если периметр основания правильной треугольной призмы составляет 15 см, то каковы площадь полной поверхности и объем

Сон

22

Давайте решим эту задачу по шагам.

Первым шагом будет определить основание треугольной призмы. Так как треугольная призма имеет правильное основание, это означает, что его основание является равносторонним треугольником. Поскольку периметр составляет 15 см, можем разделить его на 3, чтобы получить длину одной стороны основания:
\[15 \, \text{см} \div 3 = 5 \, \text{см}\]

Теперь, зная, что сторона основания равна 5 см, мы можем рассчитать площадь основания. Для равностороннего треугольника площадь можно найти с помощью формулы:
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\]
Где \(a\) - длина стороны основания. Подставляя значение \(a = 5\, \text{см}\) в эту формулу, получим:
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2\]
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 25\]
\[S = \frac{\sqrt{3} \times 25}{4}\]
\[S = \frac{25\sqrt{3}}{4}\]
Таким образом, площадь основания правильной треугольной призмы составляет \(\frac{25\sqrt{3}}{4}\) квадратных сантиметров.

Далее, мы можем рассчитать площадь боковой поверхности призмы. У правильной треугольной призмы боковые грани являются равносторонними треугольниками. Формула для нахождения площади равностороннего треугольника:
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\]
Где \(a\) - длина стороны равностороннего треугольника, которая равна стороне основания правильной треугольной призмы. Подставляя значение \(a = 5\, \text{см}\) в эту формулу, получим:
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2\]
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 25\]
\[S = \frac{25\sqrt{3}}{4}\]
Так как боковая поверхность треугольной призмы имеет три равных треугольника, площадь боковой поверхности будет равна:
\[S_{\text{бок}} = 3 \times \frac{25\sqrt{3}}{4}\]
\[S_{\text{бок}} = \frac{75\sqrt{3}}{4}\]
Таким образом, площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы составляет \(\frac{75\sqrt{3}}{4}\) квадратных сантиметров.

И, наконец, найдем объем призмы. Объем можно рассчитать с помощью формулы:
\[V = S_{\text{осн}} \times h\]
Где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, а \(h\) - высота призмы. В данной задаче высота призмы не указана, поэтому нам нужно допустить некоторое значение для нее. Давайте предположим, что высота призмы равна \(h\) сантиметров. Подставим найденные значения в формулу:
\[V = \frac{25\sqrt{3}}{4} \times h\]
\[V = \frac{25\sqrt{3}h}{4}\]
Таким образом, объем призмы равен \(\frac{25\sqrt{3}h}{4}\) кубических сантиметров с высотой \(h\).