Если ребро куба имеет длину, то каков радиус шара, соприкасающегося со всеми его гранями?

Okean

31

Чтобы найти радиус шара, соприкасающегося со всеми гранями куба, мы можем воспользоваться знанием о свойствах геометрических фигур.

Сначала давайте рассмотрим ситуацию, когда шар соприкасается с одной из граней куба. В этом случае, радиус шара будет равен половине длины ребра куба.

Теперь, чтобы шар соприкасался со всеми гранями куба, он должен быть "упакован" внутрь куба, таким образом, чтобы каждая из граней куба касалась его поверхности.

Если шар соприкасается с гранью куба, то касательная к грани куба в точке соприкосновения будет проходить через центр шара. Поскольку шар соприкасается с каждой из граней, каждая из касательных будет проходить через центр шара.

Если мы соединим центр шара с вершиной куба, мы получим радиус куба. Кроме того, поскольку каждая из касательных к граням проходит через центр шара и вершину куба, они будут ортогональны друг к другу.

Таким образом, получается, что у нас образуется прямоугольный треугольник с одним из катетов, равным радиусу шара, а другим катетом, равным половине длины ребра куба, и гипотенузой, равной радиусу куба.

Используя теорему Пифагора для этого треугольника, мы можем записать следующее уравнение:

\((\text{радиус шара})^2 + (\text{половина длины ребра куба})^2 = (\text{радиус куба})^2\)

Поскольку мы хотим найти радиус шара, эта формула может быть переписана следующим образом:

\((\text{радиус шара})^2 = (\text{радиус куба})^2 - (\text{половина длины ребра куба})^2\)

Теперь, подставляя известные значения, найденные в условии задачи:

\((\text{радиус шара})^2 = r^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\)

где \(r\) - радиус куба, \(a\) - длина ребра куба.

Теперь мы можем найти радиус шара, взяв квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\(\text{радиус шара} = \sqrt{r^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\)

Таким образом, радиус шара, соприкасающегося со всеми гранями куба, равен \(\sqrt{r^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\). Ответом является квадратный корень из разности квадратов радиуса куба и половины длины его ребра.