Если угол ADC равен 150 градусов, а стороны AB и AD равны 8 и 14 соответственно, то какова площадь параллелограмма

Звездный_Лис

44

Чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, нам нужно найти длину его высоты и умножить ее на длину одной из его сторон. Давайте разберемся сначала с нахождением высоты.

Поскольку параллелограмм ABCD является параллелограммом, то сторона AB параллельна стороне CD и сторона BC параллельна стороне AD. Это означает, что угол BCD равен углу ADC. Учитывая, что угол ADC равен 150 градусам, угол BCD также равен 150 градусам.

Теперь у нас есть параллельные стороны BC и AD и равные углы ADC и BCD. Это говорит нам о том, что треугольник ABD является равнобедренным треугольником. Следовательно, сторона BD равна стороне AD, то есть BD = 14.

Теперь нам нужно найти длину высоты, опущенной на сторону AB. Чтобы это сделать, мы можем разделить параллелограмм на два равнобедренных треугольника, ABD и BCD, вдоль высоты, и рассмотреть треугольник ABD.

У нас уже есть сторона BD = 14 и угол ADB, который равен половине угла ADC (так как треугольник ABD - равнобедренный), то есть угол ADB = 150/2 = 75 градусов.

Теперь мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти длину высоты, опущенной на сторону AB. Обозначим эту высоту как h. Мы знаем, что cos(75 градусов) = h / 14. Найдем значение cos(75 градусов):

\[cos(75^\circ) = cos(45^\circ + 30^\circ) = cos(45^\circ)cos(30^\circ) - sin(45^\circ)sin(30^\circ)\]

\[= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}\]

Теперь мы можем найти h:

\[h = 14 \cdot cos(75^\circ) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}\]

Теперь, когда у нас есть длина высоты, мы можем найти площадь параллелограмма ABCD:

\[S = AB \cdot h = 8 \cdot 14 \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}\]

Остается только выполнить вычисления:

\[S = 56 \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}\]

\[S = 14 \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}\]

\[S = 7(\sqrt{6} - \sqrt{2})\]

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна \(7(\sqrt{6} - \sqrt{2})\) квадратных единиц.