Каков объем верхней (срезанной) части конуса, если площадь основания первого конуса составляет 81п квадратных

Загадочный_Замок_1537

14

Добро пожаловать! Давайте решим данную задачу.

Для начала, определимся с необходимыми данными:

Площадь основания первого конуса составляет 81 квадратный сантиметр.
Объем верхней (срезанной) части конуса - то, что мы хотим найти.

Для решения задачи, нам понадобится знание формулы для объема конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Где \(V\) - объем, \(\pi\) - число Пи (\(\pi \approx 3.14159\)), \(r\) - радиус основания конуса и \(h\) - высота конуса.

Однако, в данной задаче у нас нет информации о высоте конуса и радиусе основания. Для решения задачи нам необходимо использовать дополнительные сведения.

Обратим внимание на то, что задача говорит о верхней (срезанной) части конуса. Если конус был срезан параллельно основанию, то пилообразный слой, который мы хотим найти, будет также являться конусом.

Поскольку площадь основания первого конуса составляет 81 квадратный сантиметр, мы можем использовать эту информацию для нахождения радиуса \(r\) первого конуса.

Формула для площади основания конуса:

\[S = \pi r^2\]

Подставим известную нам площадь основания в эту формулу и решим уравнение относительно \(r\):

\[81 = \pi r^2\]

Разделим обе части уравнения на \(\pi\) и извлечем квадратный корень:

\[r^2 = \frac{81}{\pi}\]
\[r = \sqrt{\frac{81}{\pi}}\]

Теперь, когда у нас есть радиус первого конуса, мы можем оценить высоту первого конуса и определить радиус и высоту второго конуса, который является срезанным верхним слоем.

Давайте примем, что высота первого конуса равна \(h\). Затем, высота второго конуса будет составлять половину высоты первого конуса, то есть \(h/2\).

Используя пропорцию конусов, мы можем записать следующее:

\(\frac{r_1}{h_1} = \frac{r_2}{h_2}\)

Подставим известные значения:

\(\frac{r}{h} = \frac{r_2}{\frac{h}{2}}\)

Распишем выражение для \(r_2\):

\(r_2 = \frac{r \cdot h}{\frac{h}{2}} = \frac{2rh}{h}\)

Теперь у нас есть радиус и высота второго конуса, и мы можем найти его объем, используя формулу конуса:

\[V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2\]

Подставим известные значения:

\[V_2 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{2rh}{h}\right)^2 \cdot \frac{h}{2}\]

Распишем выражение и упростим:

\[V_2 = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{4r^2 h^2}{h^2} \cdot \frac{h}{2}\]
\[V_2 = \frac{2}{3} \pi r^2 h\]

Таким образом, объем верхней (срезанной) части конуса равен \(\frac{2}{3} \pi r^2 h\).

Мы получили ответ на задачу, используя пошаговое решение и обоснование каждого шага.