Если увеличить диаметр стержня круглого сечения в 2 раза, то как изменится максимальное касательное напряжение?

Margo

23

Чтобы определить, как изменится максимальное касательное напряжение, когда диаметр стержня круглого сечения увеличивается в 2 раза, давайте рассмотрим некоторые концепции.

Максимальное касательное напряжение, обозначаемое как \(\tau_{max}\), связано с моментом сопротивления поперечного сечения стержня и его давлением.

Момент инерции \(I\) поперечного сечения стержня определяется его геометрией и является мерой его сопротивления к изменению формы под воздействием момента поворота. Для круглого сечения момент инерции определяется формулой:
\[I = \frac{\pi}{64} \cdot D^4,\]
где \(D\) - диаметр стержня.

Максимальное касательное напряжение связано с моментом инерции и максимальным моментом силы (моментом поворота) \(M\) на стержень. Оно определяется формулой:
\[\tau_{max} = \frac{M}{I}.\]

При увеличении диаметра стержня в 2 раза, новый диаметр будет равен \(2D\). Момент инерции нового стержня будет:
\[I" = \frac{\pi}{64} \cdot (2D)^4 = \frac{\pi}{64} \cdot 16 \cdot D^4 = 4 \cdot \frac{\pi}{64} \cdot D^4 = 4I.\]

Используя эту информацию, мы можем определить, как изменится максимальное касательное напряжение:
\[\tau"_{max} = \frac{M}{I"} = \frac{M}{4I} = \frac{1}{4} \cdot \frac{M}{I} = \frac{1}{4} \cdot \tau_{max}.\]

Таким образом, при увеличении диаметра стержня круглого сечения в 2 раза, максимальное касательное напряжение уменьшится в 4 раза.

Это происходит из-за изменения момента инерции: при увеличении диаметра в 2 раза, момент инерции увеличивается в 16 раз, что приводит к уменьшению максимального касательного напряжения в 4 раза.